加泰罗尼亚数字

加泰罗尼亚数字：1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845, ..., 以…命名尤金·查尔斯·加泰罗尼亚 (1814--1894)出现在组合数学的许多问题中。

可以使用以下公式计算它们：

\大裂缝1{n+1}{_{2n}C_n}

并满足递推关系

C_{0}=1

C_{n+1}=\大\裂缝{2（2n+1）}{n+2}\正常大小C_{n}

除其他外，加泰罗尼亚数字描述了

多边形：多边形的方式数 $n+2个$ 侧面可以切割 $n个$ 三角形。
圆括号：括号可以放在一系列要相乘的数字中的方式，一次两个。
树：具有根的三价树的数量 $n+1$ 节点。
路径：长度的路径数 $2个$ 通过 $n次n$ 不高于主对角线的格栅，
楼梯：分解阶梯形图形的方法数量 $n个$ 步入 $n个$ 矩形。

多边形

4边，2方式：

5边，5方式：

6边，14方式：

7边，42方式：

8边，132方式：

9边，429方式：

乘法图

三数字：

(1 (2 3))   ((1 2) 3)

4数字：

(1 (2 (3 4)))   (1 ((2 3) 4))((1 2) (3 4))   ((1 (2 3)) 4)(((1 2) 3) 4)

5数字：

(1 (2 (3 (4 5))))   (1 (2 ((3 4) 5)))(1 ((2 3) (4 5)))   (1 ((2 (3 4)) 5))(1 (((2 3) 4) 5))   ((1 2) (3 (4 5)))((1 2) ((3 4) 5))   ((1 (2 3)) (4 5))((1 (2 (3 4))) 5)   ((1 ((2 3) 4)) 5)(((1 2) 3) (4 5))   (((1 2) (3 4)) 5)(((1 (2 3)) 4) 5)   ((((1 2) 3) 4) 5)

6数字：

(1 (2 (3 (4 (5 6)))))   (1 (2 (3 ((4 5) 6))))(1 (2 ((3 4) (5 6))))   (1 (2 ((3 (4 5)) 6)))(1 (2 (((3 4) 5) 6)))   (1 ((2 3) (4 (5 6))))(1 ((2 3) ((4 5) 6)))   (1 ((2 (3 4)) (5 6)))(1 ((2 (3 (4 5))) 6))   (1 ((2 ((3 4) 5)) 6))(1 (((2 3) 4) (5 6)))   (1 (((2 3) (4 5)) 6))(1 (((2 (3 4)) 5) 6))   (1 ((((2 3) 4) 5) 6))((1 2) (3 (4 (5 6))))   ((1 2) (3 ((4 5) 6)))((1 2) ((3 4) (5 6)))   ((1 2) ((3 (4 5)) 6))((1 2) (((3 4) 5) 6))   ((1 (2 3)) (4 (5 6)))((1 (2 3)) ((4 5) 6))   ((1 (2 (3 4))) (5 6))((1 (2 (3 (4 5)))) 6)   ((1 (2 ((3 4) 5))) 6)((1 ((2 3) 4)) (5 6))   ((1 ((2 3) (4 5))) 6)((1 ((2 (3 4)) 5)) 6)   ((1 (((2 3) 4) 5)) 6)(((1 2) 3) (4 (5 6)))   (((1 2) 3) ((4 5) 6))(((1 2) (3 4)) (5 6))   (((1 2) (3 (4 5))) 6)(((1 2) ((3 4) 5)) 6)   (((1 (2 3)) 4) (5 6))(((1 (2 3)) (4 5)) 6)   (((1 (2 (3 4))) 5) 6)(((1 ((2 3) 4)) 5) 6)   ((((1 2) 3) 4) (5 6))((((1 2) 3) (4 5)) 6)   ((((1 2) (3 4)) 5) 6)((((1 (2 3)) 4) 5) 6)   (((((1 2) 3) 4) 5) 6)