方案的冲突

Question

这与另一个问题.

我发现了许多关于方案类别不完整的评论。局部环空间的类别是共完备的，在某些特殊情况下，这是方案的集合，但在其他情况下则不是（当然，没有证据表明集合不存在）。然而，我想详细了解一个不存在大肠杆菌的反例，但我几乎找不到一个。在解释的FGA中，我发现了参考文献，即Hartshorne中的示例3.4.1，附录B是一个在$\mathbb｛C｝$上的光滑适当方案，具有免费的$\mathbb｛Z｝/2$作用，但商不存在（没有证据）。老实说，这对我来说太复杂了。有简单的例子吗？你不会帮我举个例子，因为有很多，但最难的是证明大肠杆菌真的不存在。

Answer 1

编辑： BCn编号在评论中证明了这个示例的有效性，所以我在那个证明中进行了编辑。

A类可能的经证明的例子

我怀疑没有一个方案是“两个$\mathbb A^1$沿着它们的一般点粘在一起”（或“每个闭合点都加倍的$\mathbb A^1'”）。换句话说，方案类别中不存在两个包含$Spec（k（t））\rightrightarrows\mathbb A^1\sqcup\mathbb A ^1$的协等式。直觉上，这个共同限定词应该“太不分离”，不可能成为一个方案。

我没有证据，但我想如果我把这个贴在这里，其他人可能会有想法。

如果协等式$P$确实存在，则$\mathbb a^1\sqcup\mathbbA^1$的两个闭合点不会映射到$P$中的同一点。为了说明这一点，找到从$\mathbb A^1\sqcup\mathbbA^1$到其他方案的函数就足够了，这些方案同意通用点，但不同意任何其他给定的点对。显而易见的映射$\mathbb A^1\sqcup\mathbbA^1到\mathbb-A^1$分隔了大多数闭合点对。要查看一个$\mathbb a^1$上的一个点没有标识为“另一个$\ mathbb a ^1$的同一点”，请考虑从$\mathbb a^1\sqcup\mathbbA^1$s到$\mathpb a^1$的映射，其中给定的点加倍。

另一方面，让$U$是围绕$P$中泛型点的图像的仿射开的$U$在两条仿射线中都有密集的开放预图像$V$和$V'$。假设$W=V\cap V'$在仿射线内，那么我们有两个从$W$到仿射$U$的映射，它们在$W$的一般点重合，因此是相等的（因为$U$是仿射的）。特别是，从仿射线到分类推出$P$的两个映射在$W$两个副本的每个“公共对”闭点处重合，这与前面的段落相矛盾。

---

编辑：下面的问题不再相关，但出于某种原因，我想把它们留在那里。

以下是一些可能有助于回答的问题：

如果上面的coequalizer做存在，来自$\mathbb A^1\sqcup\mathbbA^1$的映射必须是surpjective吗？

（参见相关问题方案的共同均衡器会不会不令人满意？)

是类别中$Spec（k（t））\rightrightarrows\mathbb A^1\sqcup\mathbb A ^1$的协等式分开的等于$\mathbb A^1$的方案？（可能）

 

确定函子$Sch\to Set$不是以方案为核心？

Answer 2

这并不是对这个问题的回答，而是为了表明Martins对方案类别中的colimit与局部环空间类别中的colimit之间可能存在的区别的关注是有效的。实际上，如果我没有在下面弄错的话，那么在某些情况下似乎至少存在模式的直接极限（colimit），但与局部环空间范畴中的直接极限不一致。

例如，假设$X_n$是$k[X]/（X^n）的Spec，$用于某些字段$k$（转换映射是显而易见的）。那么，局部环空间范畴中$X_n$的直接极限是一个形式化方案，它不是一个方案，其底层拓扑空间是一个点，其结构层（在本文中只是一个环，即唯一点处的茎）是$k[[X]]$。

另一方面，假设给定了从$X_n$到方案$S$的兼容映射。这些都必须将$X_n$下面的公共点映射到s$中的某个点$s\，该点位于某个仿射开放规范$A$中。因此，从$X_n$因子到Spec$A$的映射，对应于兼容的映射$A\rightarrow k[X]/（X^n），$，即映射$A\ rightarror k[[X].$这又给出了一个映射Spec$k[[x]]\rightarrow$Spec$a\子集x，$，因此我们可以看到，从$x_n$到Spec$k[[x]$identify Spec$k[[x]]$的自然兼容映射在模式类别中具有$x_n$direct限制。

编辑：正如David Brown在回答中所附的评论中所指出的，这个例子例如，如果$I$是环$a$中的理想，则Spec$a/I^n$方案类别中的直接极限与Spec$\hat a$一致，其中$\hatA$是$a$的$I$-adic补足。

进一步编辑：我不再确定上一段的说法。如果$A/I$（因此每个$A/I^n$）是局部的，那么对于任何方案$S$，都会通过仿射开放子模式将Spec$A/I*n映射到S$factor，因此可以简化到环类中的计算，从而发现Spec$A/I ^n$的直接极限确实等于Spec$hat{A}$。一般来说，我目前还不确定。

Answer 3

我觉得你不想听证据，但你想听“要点”。关键是，根据定义，一个方案必须被仿射方案所覆盖，有时在Hartshorne中进行练习时，证明是这样的：首先对仿射方案进行问题，在那里这个问题变成了环理论，然后通过粘合在一起对所有方案进行问题。因此，下面是您可能希望通过以下自由操作来尝试和商讨方案的方法$Z/2Z$：首先假设方案是仿射的，所以$规格（A）$，带有美元$有…的动作$Z/2Z$，尝试找出商是否存在，然后转到一般情况。

在仿射情况下，我们有一个环美元$以…的动作$Z/2Z$，如果十亿美元$是不变量，然后你可以说服自己$规格（B）$是商。

现在让我们做一个一般的案例。说$X美元$是具有以下操作的方案$Z/2Z$.选择一个点x美元$在里面$X美元$.现在让我们$规格（A）$是包含x美元$.现在$Z/2Z$作用于$规格（A）\ldot$哦，等等，不，不，它不会，因为动作可能会移动$规格（A）$到另一个仿射$规格（B）$。那么让我们尝试交叉$规格（A）$和$规格（B）$，交叉点通常是仿射的，所以让我们考虑一下并将其命名为$规格（C）$和美元\ldot$哦，不，等等，这也不管用，因为x美元$可能不在$规格（C）$嗯。

你在问题中提到的众所周知的三重性就是这样表现的。你不能用仿射覆盖它，每个仿射都被动作保留，所以你会被卡住。

这有帮助吗？

Answer 4

方案的直接限制不存在。下面是一个很好的例子：设X是一个方案，Z是一个由理想I定义的闭子方案。然后，对于任意n，我们得到由理想I^（n+1）定义的第n个无限邻域Z^（n）和一个图$Z到Z^2到cdots到Z^n到cdots$，一般来说，这个图的直接极限在方案范畴中不存在。（但它确实存在于正式方案类别中）。克努特森氏代数空间，第5章，第1节（接近尾声）很好地解释了这一点（对于代数空间，但在这一点上，可以将一切视为一个方案）。

一个简单的例子是dvr（R，t）上的P^1，其中Z是由t定义的P^ 1的闭子模式。

Answer 5

这个答案主要是为了回答马特·埃默顿（Matt Emerton）上面的问题，即一组地图是否$\运算符名称｛Spec｝A/I^n\到X$代数到地图$\operatorname{Spec}\widehat{A}\到X$答案确实是肯定的，如果$X美元$是qcqs，是巴加夫自2014年起。请注意美元$和$X美元$不必是诺埃特人！

Answer 6

直接极限特别包括商。

我认为如果$Z\subset X$是一个闭的子模式，那么$X/Z$通常不存在。

假设$Z$是$X$上的除数，这样就存在一个有理函数$f:X\to\mathbbP^1$，它的极点只在$Z$上。然后根据商的普遍性质，这样的函数降为函数$f\bar:X/Z\to\mathbb P^1$，极点由一个点组成（我有点不确定，为什么它是一个点，但也许它一定是一个点子）。但除非$dim（X）=1$，否则这是不可能的。