有限群的所有Brauer关系在增广映射下都消失了吗？

Question

Burnside环亿美元（G）$有限群的G美元$是所有有限环G美元$-不相交并和笛卡尔积下的集合。众所周知$\mathbb{Q}\otimes B（G）$以为基础$\{[G/H]\mid H\le_G G\}$($\le_G美元$方法H美元$已达到G美元$-有一个自然的回注$\θ$到表示环上$\mathbb{Q}\otimes R（G）$它以图像为基础$\{[G/H]\mid H\le_G G，\mbox{$H$循环}\}$.内核$ker（θ）$称为集合千美元（G）$属于布劳尔关系例如，如果$G=S_3$,千美元（G）$由单个关系生成$$[G/\langle（）\rangle]-2[G/\ langle（1,2）\range]-[G/\t langle（1，2，3）\ranegle]+2[G/G]$$

注意应用增强图$\epsilon:[G/H]\mapsto 1$这个关系给出了$1-2-1+2=0$.更一般地说，我检查了所有组的所有关系G美元$具有$|G|\le 63美元$消失在下面$\epsilon美元$一般来说是这样的吗？

Answer 1

是的，因为$\epsilon美元$等于$\θ$带着地图$\mathbb Q\otimes R（G）\to\mathbbQ$将平凡的表示发送到$1$以及所有非平凡的不可约表示$0$。由于Brauer关系由发送到零$\θ$它们被发送到$0$通过$\epsilon美元$.

为了检查这一点，我们只需要观察关联的表示美元【G/H】$是一维平凡表示与一些非平凡不可约表示的和。通过半隐式，我们需要检查G美元$-这种表示的不变量是一维的，这与任何不变量一样清楚G美元$-上的不变函数美元G/H$必须是常量。

Answer 2

换句话说，（隐式使用Frobenius互易），当您定义增强映射时，它会计算与$\mathbb{Z}$-及物线性组合G美元$-套。另一方面，如果G美元$-集合在表示环中被发送到零，其（虚拟）字符显然是零字符，因此平凡字符明显出现在重数为零的情况下。（好吧，我在这里完整地工作，但是这个论点适应了$\mathbb{Q}$-线性组合）。