有限格是由它的哈斯图（作为图）决定的吗？

Question

如果有限格$L_1、L_2$具有与无向图同构的Hasse图，必须L_1美元$和L_2美元$是同构的吗？

注：萨姆·霍普金斯指出，答案是“不”，因为有一些晶格与其对偶不同构。我想知道，这种“向上走哪条路”的模糊性是否是从哈斯图（被视为无向图）重建晶格的唯一障碍。

你说的“图形”是什么意思？无向图？当然不会，因为有有限格不是自对偶的（但对偶格的哈斯图与无向图同构）。 — 萨姆·霍普金斯, 评论 5月26日17:08
另一方面，如果“图”是指“有向图”，那么哈斯图与偏序的覆盖关系是相同的信息，那么对于有限偏序来说，它是其覆盖关系的传递自反闭包，这是一个简单的事实；因此，这个有向图确实确定了有限偏序集（这里的格属性无关）。 — 萨姆·霍普金斯, 评论 5月26日17:10
说得好！让我重新表述一下这个问题：我们能把一个格子从哈斯图重建成一个无向图，直到二元性吗？ — 詹姆斯·普罗普, 评论 5月26日19:17
@迈克尔·哈迪，就像我说的，如果你知道定向的图，这足以恢复偏序集（并且格属性无关）。我想你可以问，你需要知道多少边缘方向。 — 萨姆·霍普金斯, 评论 5月28日16:50

萨姆·霍普金斯 · Accepted Answer · 2024-05-26 19:30:39分

10

这还远远不是真的。例如，考虑这些格子（只是一个随机示例）：

回答5月26日19:30

23.7万5枚金徽章92枚银徽章166枚青铜徽章

9

$\开始组$ 循环图$C_{2n+2}$是$n$非同构格的Hasse图。 $\端组$
– 转炉
评论 5月26日20:54
$\开始组$ 有没有一个简单的例子，而不是一个“随机”的例子？ $\端组$
– 迈克尔·哈迪
评论 5月28日16:25
$\开始组$ 那么，除了无向图之外，还有多少信息就足够了？ $\端组$
– 迈克尔·哈迪
评论 5月28日16:27
1

$\开始组$ @迈克尔·哈迪（MichaelHardy）：我不认为有任何包含5个元素的示例，所以6个元素是最小的（尽管正如bof所解释的，至少还有一个包含6个元素的其他示例）。 $\端组$
– 山姆·霍普金斯
评论 5月28日16:51

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Jukka Kohonen公司 · Accepted Answer · 2024-08-05 11:52:29Z

在评论中，人们猜测在大多数情况下，无向图就足够了，直到二元性。下面是一些来自小实例的数据。这些格子取自格伯哈特和汤恩的目录，并使用简单的Sage代码通过无向图对格进行分类。

表中的列有：

从这个小数据来看，与猜测的相反，大多数晶格似乎无法从无向Hasse图中识别出来（甚至到二元性）。

在$n=12$，下图对应于最大数量的格（48个，不包括对偶格）。

但具有很多格（如48）的图并不典型。更为典型的是，一个图对应于例如2个不同的格（11761个这样的12个顶点的图）或3个格（5492个12点的图）。这是一个随机选择的图形示例，它正好对应于两个不同的格（忽略对偶）。

2个答案2