编织组的共同成长系列有哪些已知/预期？

Question

有限生成群关于生成集的共生级数美元$是长度字数的生成函数n美元$在组中等于1。它的研究源于Grigorchuk和Cohen将其与顺应性联系起来的结果（~1978）演讲.由于M.Kontsevich的结果/问题，产生了新的兴趣非com ID,格罗森迪克猜想,Youtube（Youtube）-参见I.Pak调查ICM2018年,国际水文计划,R.斯坦利另请参见D.Zagier关于“Golyshev对镜像对称中类似表情的预测”ECM2016标准.

问题1：辫子组的共同成长系列有什么已知/预期的吗？它可以是代数的、D有限的、D代数的吗（见下面的定义）。或者至少是c_n美元$?

问题2：关于生成函数的“指数/Kontsevich”形式的相同问题：$exp（\sum_n\frac{c_n}{n}t^n）=“det（1-tA）”$?

备注：在非com ID康采维奇证明了生成函数的指数形式对于自由群的任何生成集也是代数函数。（对于标准形式，这是由M.Schutzenberger、N.Chomsky和Haiman提出的，现在似乎是斯坦利书中的一个练习。）这样的指数形式似乎更自然，显然类似于zeta-functions。在图形术语中，它是邻接矩阵的一个适当正则化的特征多项式-有点类似于“Fuglede−Kadison行列式“另请参见D.Zagier ECM2016，了解镜像对称中类似的表达式以及V.Golyshev对其代数性的预测(现已证明). （感谢M.K.的解释和发送相关文件）。

问题3：共同增长的指数形式类似于齐塔函数(例如MO)：那么，“齐塔函数包”的什么性质：函数方程、解析延拓、特殊点上的值、“黎曼猜想”可能是预期的？（注:“丹宁格显示（2005）在许多情况下$\字母_f$等于Fuglede-Kadison行列式的对数，即与∆“-的群von Neumann代数上的f相对应的线性算子，类似于zeta/L函数的“特殊值”类型属性）。

以下是上述关于“合理性/代数性/D-有限性/D-代数性”的I.Pak幻灯片的一些摘录：

Answer 1

我对指数生成级数不太了解，所以我只回答问题1。

对于上的编织组$n=3$strand，cogrowth系列是D美元$-有限的，有限的Alex Bishop的结果对于任何发电机组，我都不希望是代数的。（我认为渐近式应该是$c_n\sim Cn^{-2}\rho^n$。我有一些证明的想法，但没有写好。如果你感兴趣，我可以告诉你更多。）

对于$n\ge 5美元$、辫子组百万美元$包含$F_2\乘以F_2$因此我们可以适应帕克·卡拉布兰特的论点$SL_4（\mathbb Z）$来证明cogrowth级数不是D美元$-对于某些生成的多集来说是有限的。我对$n=4$两者都可以。

对于渐近性，所有组B_n美元$具有快速衰退特性贝尔斯托克和明斯基的作品，所以我们有$$n^{-2D}\rho^n\precqc_n\precqn^{-1}\rho ^n$$哪里D美元$是特性RD中多项式的次数。（这是Saloff-Coste、Chatterji和Pittet的另一个观察结果，请参见本综述，定理1.3.）我不知道哪个学位是从属性RD的证明中得出的B_n美元$.

有趣的是，我们经常$c_n\sim Cn^{-D}\rho^n$例如，双曲群具有属性RDD美元=\压裂32$，并满足$c_n\sim Cn^{-3/2}\rho^n$古埃泽尔的作品。但情况并非总是如此，因为$\mathbb Z^5*\mathbbZ^5$（我想是有房地产RDCiobanu-Holt-Rees的结果)取决于发电机组（卡特赖特的结果）。所以我不知道在这里会发生什么，但有一些希望它是干净的$c_n\sim Cn^{-d}\rho^n$对一些人来说$d\in\frac12\mathbb Z美元$.