共轭类上的代数结构

Question

非正式地说，群的共轭类集具有什么代数结构？

正式地说，我对自然操作关于夫妻关系类别。让$\mathsf{Grp}$是组的类别$\mathsf{CC}:\mathsf{Grp}\to\mathsf1{Set}$函子将每个群映射到它的共轭类集合。然后是arity的自然操作$n\in\mathbb{n}$是形式的自然转换$$\mathsf{CC}^{\times n}\longrightarrow\mathsf{CC}$$

以下是我知道的（YCor的帽子提示）：

• 投射到其中一个因素上。
• 在arity中$n=1美元$，获取权力$x\映射到x^k$用于固定$k\in\mathbb{Z}$，这就下降到了魔法类。
• 用第二种构成第一种。
• 在arity中$n=0$，返回中性元素的类。

还有其他的吗？特别是，是否存在arity的重要操作$> 1$?

Answer 1

我声称没有自然的二进制运算（相同的方法应该适用于任何arity$\ge 2美元$)除了那些最多依赖于两个输入之一的输入：

假设$f美元$是自然的。写入$[a]美元$对于的共轭类美元$然后，采取G美元$免费使用发电机x美元$和美元$并选择班级代表$f（[x]，[y]）$，即一个单词$w（x，y）$这样的话$[w（x，y）]=f（[x]，[y]）$，根据我们的自然性$[w（a，b）]=f（[a]，[b]）$一般来说。在发电机的自由组中$x，y，z$单词$w（zxz^{-1}，y）$和$w（x，y）$然后是共轭的。很明显，在（简化的）单词中$w（x，y）$要么是信x美元$不发生或字母美元$没有。

的确，除非$w美元$是形式$x^k美元$或$y^k美元$，通过更换$w美元$我们可以假设有一个共轭$w（x，y）=x^{a_1}y^{b_1}\cdots x^{an}y^}b_n}$哪里$a_1、b_1、\点、a_n、b_n$都不为零。然后$w（zxz^{-1}，y）=zx^{a_1}z^{-1}y^{b_1}\cdotszx^}a_n}z^}-1}y^}b_n}$。此表达式是循环约简的，包含$z（美元）$，所以$w（zxz^｛-1｝，y）$不与共轭$w（x，y）美元$.