这样的计算实际上是不正式的；如果试图直接从定义中进行计算，几乎是不可能的。
这里的出发点是$f美元$实际上是上同调光滑的。更准确地说，$g:\ast\至BG$是上同调平滑的，因为它拉回平滑映射$G\至\ast$; 因此$BG至ast$上同调平滑上同调光滑（如复合$\ast\到BG\to\ast$显然是光滑的），因此上同调光滑。
因此，$f^$是$f^\ast个$直到扭转。下一个任务是识别扭曲。让我们先算出学位。请注意$g^！f^！(1)=1$和$g^！f^！（1） =g^\ast f^！（1） \注意事项g^！(1)$这意味着$f^$和$g^$必须取消。但是$g^$班次由$\mathrm{dim}（G）$向左，所以$f^！(1)$必须处于上同调度$\mathrm{dim}（G）$。在这个程度上，它提供了$1$-的维度表示G美元$在上$\mathbb Q美元$-向量空间，但作为G美元$已连接，无法对其进行操作，因此$f^！（1） \cong 1[-\mathrm{dim}（G）]$.
（一般来说，计算二元化复合体最好是通过退化到正常锥体，正如我从克劳森那里学到的那样。这几乎适用于所有情况。）
现在$f$是的左伴随$f^$.作为$f^！\连接f^\ast[-\mathrm{dim}（G）]$，我们了解到$f$是$f_自然[\mathrm{dim}（G）]$哪里$f_自然$表示的左伴随$f^\上次$在古典语言中，$f_自然$计算组同源性。因此，$f！\mathbb Q型$是的组同源性G美元$移动了$\mathrm{dim}（G）$在左边。
