Martin边界上的Borel测度与Poisson-Martin表示定理

Question

我一直在研究离散集上Martin边界的构造X美元$容许不可约瞬态随机游动美元（X，P）$在沃尔夫冈·沃斯（Wolfgang Woess）的《Infinte图和群上的随机游动》（Random Walks on Infinte Graphs and Groups）一书中，我发现了泊松-马丁表示定理，如下所述：

对于每个正谐波函数$小时$在X美元$,Borel测量值为正$\nu^h$在马丁边界上$\mathcal{M}$属于X美元$这样的话$$h（x）=\int_{mathcal{M}}K（x，.）\mathrm{d}\nu^h$$哪里千美元（.，.）$表示对应于的Martin内核美元（X，P）$.

我还读到了关于Martin边界的数学百科全书，其中声明对于某些选择X美元$（说X美元$是中的有界域$\mathbb{R}^n$或绿地），Borel措施$\nu^h$实际上是氡测量。我感兴趣的一个问题是，我们是否可以一直期待Borel度量$\nu^h$发生在上述定理中的是氡测度吗？如果没有，我们能期待吗$\nu^h$是上的有限测度$\mathcal{M}$? 它在的任何紧致子集上是有限的吗$\mathcal{M}$? 任何帮助或参考都将不胜感激。提前谢谢！

Answer 1

在表示度量的定义中还有一个要素$\nu^h$你的描述中缺少了。这是一个参考点0美元$从状态空间（更一般地说，是状态空间上的概率度量），因此更适合使用符号$\nu_o^h$.功能美元\斐$表示马丁边界点的标准化要求如下$\phi（o）=1$.[在一种更为不变性的语言中，为了将Choquet理论用于凸圆锥体对于正超调和函数，必须固定凸函数紧凑型底座圆锥体。]它意味着代表性度量$\nu^h_o$实际上是有限的，它的质量是$小时（o）$.