Eilenberg-MacLane空间是流形的极限吗？

Question

在这个答案，mme表明对于任何紧李群G美元$，它的分类空间有一个模型BG美元$这是闭流形的直接极限。如果G美元$是离散的（即。$\dim G=0$)，然后是一个模型BG美元$也是一个模型K美元（G，1）$自从$\pi_i（BG）\cong\pi_{i-1}（G）$。

让G美元$是一个可数阿贝尔群$n>1$.是否存在一个模型千美元（G，n）$闭流形的直接极限是什么？

回忆，一个空间X美元$是的模型千美元（G，n）$如果$\pi_n（X）\cong G$和$\pi_i（X）=0$对于$i\n个$。

有这样一个模型$K（\mathbb｛Z｝，2）$，即$\mathbb{CP}^{\infty}$它是有限维复射影空间的直接极限$\{\mathbb{CP}^m\}_{m\geq1}$。这也可以在链接答案的上下文中查看，作为美元业务单位（1）$是的模型$K（\mathbb｛Z｝，2）$。

一般来说，上述问题可能太难回答。我很想知道接下来最简单的情况会发生什么，即$K（\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}，2）$和$K（\mathbb{Z}，3）$。

Answer 1

由可数CW复数表示的任何同伦类型也由闭合流形的递增并集表示：

首先考虑有限CW复数$X美元$.让百万美元\sim X$是一个紧流形（有边界），设M_n美元$是$M\次D^n$并使用内含物$$\点\子集\部分M_n\子集M_n\子集\部分M_{n+1}\子集M_{n+1}\子集\点$$我们正在观看的地方$\部分M_{n+1}$作为的两倍M_n美元$.工会作为$n\to\infty$都是同伦等价于X美元$以及闭合流形的不断增加的并集。

对于一个可数无穷复数，做类似的事情：把它写成有限复数的递增序列X（k）美元$对于每个千美元$选择一个紧凑的流形百万美元\sim X（k）$，并安排百万美元（k）$嵌入百万美元（k+1）$（通过包含同伦类中的映射$X_k\到X_{k+1}$). 我们可以安排百万美元（k）$处于百万美元（k+1）$.然后$X美元$等于$$\点\子集合M（k）\子集M（k+1）\子集合\点，$$它也是封闭流形的并集$$\点\子集\部分M（k）\子集\局部M（k+1）\子集\dots，$$