谁说理解物理有助于数学家？（参考请求）[从字面上理解“谁”一词。]

Question

如果我想在印刷品上大胆而模糊地宣称公认的在数学家中，力学知识（从物理学家理解这个词的意义上来说）揭示了几何学和数学的类似领域，数学家作为数学家可以从这些知识中受益，我可以引用哪些已发表的论文或书籍来支持这一说法？

Answer 1

引用V.I.Arnol’d的前两段，论数学教学乌斯佩基·马特·诺克53（1998）229-234，翻译成英文俄罗斯数学。调查53(1998) 229-236（也可以找到转录本在这里如果你想绕过付费墙）：

数学是物理学的一部分。物理学是一门实验科学，是自然科学的一部分。数学是物理中实验费用低廉的部分。

雅可比恒等式（迫使三角形的高度在一点上相交）是一个实验事实，与地球是圆的这一事实（也就是说，与球同胚）一样。但它可以用更少的费用被发现。

Answer 2

迈克尔·阿提亚，论爱德华·维滕的作品:

在他的手中，物理再次提供了丰富的资源数学中的灵感和洞察力。当然是物理洞察力并不总是能立即得到严格的数学证明，但它经常引导人们朝着正确的方向前进，而且在技术上然后有望找到正确的证明。

莱昂纳多·达·芬奇：

力学是数学科学的天堂，因为通过它，人们可以获得数学的成果。

Answer 3

桑德斯-麦克巷：

最近思想（连接、纤维束等）与物理学（量子引力等）之间富有成果的交流，是一个决定性的刺激因素，也是新思想和旧思想重新应用的源泉。（第192页）

他接着指出：“这很好，但涉及到了当前物理学的一些弱点”，并进一步阐述了这一点。来源是

Michael Atiyah；阿尔芒·博雷尔；Chaitin，G.J。；丹尼尔·弗里丹（Daniel Friedan）；詹姆斯·格利姆（James Glimm）；杰里米·格雷（Jeremy J.Gray）。；莫里斯·赫施。；桑德斯的Mac Lane；曼德布洛特（Mandelbrot，Benoit B.）。；David Ruelle；阿尔伯特·施瓦兹；卡伦，乌伦贝克；雷内·托姆；爱德华·维滕（Edward Witten）；塞曼，克里斯托弗对：A.Jaffe和F.Quinn的回应，“理论数学：走向数学和理论物理的文化综合”[Bull.Amer.Math.Soc.（N.S.）29（1993），第1、1–13]。Bull.Amer.Math.Soc.（NS.）30（1994），第2、178–207。数字对象标识：10.1090/S0273-0979-1994-00503-8,arXiv:math/9404229

在同一系列中，David Ruelle写道：

也许值得强调的一点是文化的有用性数学中的交叉施肥。费根鲍姆的理论文化背景物理学使他发现了光滑的一种新的一般分岔动力系统，这不会很快遇到标准数学路径。同样，平衡统计的物理思想力学对光滑的数学理论做出了丰富的贡献动力系统（关于熵、吉布斯状态等概念，请参阅我的BAMS（NS）19（1988），259-268）中的注释（第197页）。

理查德·库兰特写道：

……我们科学的生命之血通过它的根; 这些根延伸到无尽的分枝深处进入所谓的现实，无论这个“现实”是力学、物理学、生物形态、经济行为、大地测量学或，就这一点而言，其他已经在熟悉的人。（引用于Carrier，G.；Courant，R.；Rosenbloom，P.；Yang，C.；Greenberg，H.《应用数学：研究和教育需要什么》。）SIAM版本。,4(4) (1962), 297--320.)

Answer 4

也许这一观点得到“广泛承认”是正确的，但并非一致同意。在这里我收集了一些著名数学家关于这个问题的陈述。

此处引用了其中一些声明：

对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。（J.Fourier，《热分析理论》，1830年）

的确，傅里叶先生认为数学的主要目的是造福社会和解释自然现象；但像他这样的哲学家应该知道，科学的唯一目的是人类心灵的荣誉，在这个标题下，关于数字的问题与关于世界体系的问题一样有价值。（C.G.Jacobi，致Le Gendre的信，1830年）

实际上，这当然一点也不重要，因为对于地球上可以测量的最大三角形来说，这可以忽略不计；然而，科学的尊严要求我们清楚地理解这种不平等的本质。。。（高斯在给一位朋友的信中表示，在测量地球表面三角形时，误差为0.001英寸）。

我完全清楚是什么条件导致了数学的逐渐衰落，从大约100年前的高水平下降到目前无可救药的最低点。数学的退化始于黎曼、德德金和康托的思想，这些思想逐渐压制了欧拉、拉格朗日和高斯的可靠天才。由于受到哈斯、施赖尔和范德瓦尔登等教科书的影响，新生代受到了严重伤害，布尔巴吉的著作最终受到了致命的打击。（C.L.Siegel，致A.Weil的信，1959年。H.Grauert的讲座引用了德语原文，见：数学和理论物理，ch 1993，ed:Minaketan Behara，Rudolf Fritsch，Rubens G.Lintz，W.de Gruyter，1995。）西格尔今天会写什么？

所有数学都分为三部分：密码学（由中央情报局、克格勃等支付费用）、流体力学（由原子潜艇制造商提供支持）和天体力学（由军事和其他导弹研究机构（如美国宇航局）提供资金）。（V.Arnold，in：数学：前沿与展望，AMS 2000）

你不能两者兼得。我指的是10亿年前，一条鱼在水下开会，说：“我们是鱼，我们拥有所有的力量，现在是时候征服土地了”。但你不可能在保留鱼的同时征服土地。你不能去现实世界中剩下的数学家；那太荒谬了。要么你研究现实世界中的实际问题——这是一个非凡的智力挑战，要么你仍然是一名数学家。（M.Gromov，《死海讨论》，载于GAFA 2000。数学视野）

Answer 5

马克·列维的书数学力学：利用物理推理解决问题书中充满了在几何学中应用物理直觉的具体例子，甚至包括高斯-博内定理的证明。

尤金·维格纳写道“……物理学家通常粗糙的经验的数学公式导致了对大量现象惊人准确的描述。”

Riemann在他的驯服讲座将大尺度和小尺度上的物理经验作为几何学发展的源泉：“只有从以下现象的结构出发，才能找到对这些问题的决定：迄今为止，牛顿为其奠定了基础，并通过修改这种结构，获得了经验的认可在无法解释的事实的强迫下逐渐发展”。可以说，他正在期待着我们今天所知道的量子力学和广义相对论的发展。

最后，人们甚至可以引用牛顿原理，它当然与物理学和数学一样重要，或者当时被称为“自然哲学”。很明显，牛顿的物理直觉指导了微积分的发展。如果有人想问他是数学家还是物理学家，我想他会被这个问题弄糊涂的。他写道，“几何学建立在正确直线和圆的描述之上，属于力学”，这表明物理学和几何学一直以来都是相互联系的，可以追溯到欧几里得。