关于Pareto函数

Question

这个帕累托原理据说，前20%的富人拥有80%以上的财富。假设我们有一个非负函数$\mathbb卢比$这满足了每一个开球的原则。关于函数的正则性可以说什么？

我们说一个局部可积的非负函数$f美元$在$\mathbb卢比$是一个帕累托函数如果存在$\varepsilon，\delta>0$这样每一个开球$B\subet\mathbb R^n美元$，存在一个子集E美元$属于十亿美元$测量值小于或等于$（\frac{1}{2}-\varepsilon）|B|$使得

$$\int_Ef\geq\left（\frac{1}{2}+\delta\right）\int_B f$$

问题：关于Pareto函数的正则性可以说什么$f美元$? 此外，可以获得相关规范的界限是什么？弱$L^1美元$上界到常数似乎是可能的，但我们能得到弱的吗美元L^p$或BMO美元$规律性？

Answer 1

只有当$f=0$a.e.否则存在一个点美元$对于其中$f（a）>0$和美元$是勒贝格点$f美元$，也就是说，对于$r\到0$的平均值$|f（x）-f（a）|$在以…为中心的球上美元$半径的美元$转到0。这得出了$f美元$越过这个球十亿美元$是$f（a）+o（1）$，但之后$\int_E f\geqsleat（1/2+\delta+o（1））f（a）\mu（B）$和\开始{align}&\int_{B\set-nuse-E}f（x）\geqslate\int__{B\set-nuse-E}f\geqsleat{}&\int_{B\set-nuse-E}f（a）-\int__{B}|f（x）-f（a）|\\[8pt]\geqsleat{}&f（a）（1/2+\varepsilon+o（1））\mu（B），\结束{对齐}将这两个界限相加$\int_B f\geqslant（1+\varepsilon+\delta+o（1））\mu（B）f（a）$，与$\int_B f=（1+o（1））\mu（B）f（a）$.