斯特林近似值$n！ \sim\sqrt{2\pin}\left（\frac{n}{e}\right）^n$（及其各种含义）， 配分函数$p_n\sim\frac{1}{4n\sqrt{3}}\exp\left（\pi\sqrt{2n}{3}\right）$的渐近性， 素数定理$\pi（n）\sim\frac{n}{\logn}$， 非对角Ramsey数$R（3，n）=Theta\left（\frac{n^2}{logn}\right）$的渐近性。
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4 $\开始组$ 让我们不要忘记，像$\pi（x）\sim\mathrm{Li}（x）$这样的语句比$\pi（x）\simx/\logx$（因为错误项较小）更准确，其中$\mathrm{Li}（x）=\int_{2}^{x}{\frac{dt}{\logt}}$。 现在$\mathrm{Li}（x）$不是初等函数，但它渐近等价于$x/\log x$（通过分部积分），因此值得注意的是，通常一个复杂的序列可能更自然地渐近于涉及初等函数的和或积分， 然后我们可以反过来证明这样的和或积分对于某些初等函数也是渐近的。 $\端组$ – 彼得·汉弗莱斯 评论 2010年11月8日10:25 -
4 $\开始组$ 在组合数学中的各种计数问题中，逆阿克曼函数就是这样出现的。 在我看来，它很可能无法用初等函数表示，尽管我似乎找不到对此的引用。 $\端组$ – 作记号 评论 2010年11月8日10:51
8个答案
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$\开始组$ “o-极小性保证了上述三分法”：我对o-极小结构几乎一无所知，但我很有兴趣学习。 你能用几句话说出“o-极简”的定义吗？ $\端组$ – 安德烈·恩里克 评论 2011年7月18日20:42 -
1 $\开始组$ @安德烈：这是“订单最小化”的缩写。 设$T$是一阶理论，包括满足线性阶公理的谓词$\lt$。 让$R$成为$T$的模型。 例如，$T$可能是有序字段的理论，而$R$可能是实数。 如果某个$R^n$的子集可以由$T$语言中的$n$-ary谓词定义，则将其称为“可定义的”。 那么$R$是 o最小值 如果$R$的每个可定义子集是点和（可能是半无限的）区间的有限并。 这个条件对可定义集合的结构有着惊人的强后果！ $\端组$ – 托德·特里布尔 评论 2011年7月18日22:09 -
$\开始组$ Lou van den Dries的《Tame Topology and o-Minimal Structures》是一本非常可读的书（对于那些不是模型理论家的人来说），它探讨了o-极小性的显著后果。 例如，证明了如果实数$R$对于某些理论（如有序指数场理论）是o极小的，则$R^n$的每个可定义子集都具有良好的温顺（Whitney）分层成有限多个光滑块， 第一类的期望来自实代数簇和实半代数簇的理论。 $\端组$ – 托德·特里布尔 评论 2011年7月18日22:20
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1 $\开始组$ 类似地，人们可以考虑诸如判别式$d$的正定二次型的等价类的数量。 另一个例子是$\tau（n）$，即Ramanujan$\Delta$函数的傅里叶系数； 如果你喜欢正数，那么取$\tau（n）^2$。 也许最好的例子就是素数的特征函数。 我们倾向于认为这些序列是“随机的”，所以它们没有基本函数的渐近性。 $\端组$ – 马特·杨 评论 2010年11月8日23:00 -
4 $\开始组$ 将$\tau$和我给出的示例统一起来的是它们是乘法函数：如果$n\wedge m=1$，那么$f（nm）=f（n）f（m）$。 除非$f$到${1，p，p^2，p^3，\ldots\}$的每个限制$f_p$都具有相同的渐近性，否则此类函数不太可能具有渐近性。 $\端组$ – 丹尼斯·塞雷 评论 2010年11月9日6:39
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4 $\开始组$ 请参阅 sci.tech-archive.net/archive/sci.math.research/2007-03/… 用于Tetration的线程物理应用程序。 简而言之，迭代指数没有已知的自然发生。 $\端组$ – 用户37691 评论 2010年11月8日13:40 -
$\开始组$ “此外，值得注意的是，这些数字出现在组合物理中，出现在量子场论算符的正常排序问题中。” arxiv.org/abs/0812.4047v1 但你希望它在什么意义上是自然的呢？ $\端组$ – Anix公司 评论 2010年11月8日22:55