什么时候?$(a,m)=1$,让$\pi(x;a\bmod m)$是素数$p\leq x美元$使得$p\equiv一美元$.算术级数的素数定理国防部百万美元$代表所有人$a\in(\mathbf Z/m\mathbf-Z)^\次$那个$\pi(x;a\bmodm)\sim(1/\varphi(m))x/\log x$.
哈罗德·夏皮罗,报纸上与算术级数素数定理等价的几个断言、Comm.Pure Appl.公司。数学。2(1949),293-308,显示整数的定理百万美元\geq 1$等同于下列条件中的每一个百万美元$:$$\sum_{\子堆栈{n\leqx\\n\equiva\bmodm}}\mu(n)=o(x)$$对所有人来说美元$具有$(a,m)=1$和$$\sum{\子堆栈{n\geq1\n\equiva\bmodm}}\frac{\mu(n)}{n}\\{rm收敛}$$对所有人来说美元$具有$(a,m)=1$。这应该能解决你的两个问题。
关于上述第二个等价条件,请注意素数定理在许多地方都表示为与计算等价$\sum\mu(n)/n=0$,但它也等价于$\sum\mu(n)/n$因为很容易证明这个系列必须$0$如果它由于Dirichlet级数的Abel定理而收敛:$\sum\mu(n)/n$意味着这个数列必须相等$\lim_{s\to1^+}\sum\mu(n)/n^s=\lim_{s\to1 ^+}1/\zeta(s)=0$.
我在回答中解释了在这里算术级数中的素数定理如何mod百万美元$相当于非茴香$L(s,\chi)$在线${\rm Re}=1$对于所有Dirichlet字符$\chi\bmod百万$,有了这些信息,让我们看看如何推导出上面的第一个莫比乌斯类比。什么时候?$(a,m)=1$,$$\sum{\substack{n\leqx\\n\equiva\bmodm}}\mu(n)=sum{n\leq x}\frac{1}{\varphi(m)}\left(sum{chi\bmodm}\overline{chi}(a)\chi(n,$$哪个是$$\压裂{1}{\varphi(m)}\sum{\chi\bmodm}\上横线{\chi}(a)\左(\sum{n\leqx}\chi(n)\mu(n)\右)。$$要显示这一点o美元(x)$,我们显示每个内部和是o美元(x)$.
位于的内部总和美元\chi$是Dirichlet级数系数的部分和$\sum\chi(n)/mu(n)/n^s$,这是$1/L(s,\chi)$对于${\rm Re}>1$.这个Dirichlet级数的系数有界于绝对值(由$1$)和$1/L(s,\chi)$对该行进行了分析延续${\rm Re}=1$(这就是我们使用非暴力手段的地方$L(s,\chi)$在那条线上,包括美元=1$什么时候美元\chi$是琐碎的特征,所以这里的倒数是解析的美元=1$带有零),因此根据Newman的Tauberian定理$$\压裂{1}{x}\sum_{n\leqx}\chi(n)\mu(n。$$The convergence of$\sum_{n\equiv a\bmod m}\mu(n)/n$什么时候$(a,m)=1$通过类似的方法证明:将任务减少为显示所有Dirichlet字符美元\chi\bmod m$那个$\sum_{n\leqx,n\equiv-a\bmod-m}\chi(n)\mu(n$聚合为$x\至\infty$.