更新3:这是前面给出的参数的完整重写(附加在水平线后面)。
我们在田里工作千美元$具有不同于$2$.
对于$i=1,\cdot,n$让$e_i(美元)$表示标准内部产品空间的标准基础V美元$尺寸的n美元$结束千美元$.
鉴于$v\单位为v$这样的话$\langle v,v\rangle\neq 0$我们定义$$rv(x)=x-2压裂{langlex,vrangle}{langlev,vrange}v$$这是“反射”的通常定义。
鉴于$i\neq j个$,反射$r_{e_i-ej}$操作于V美元$通过交换$e_i(美元)$和$e_j(美元)$、和固定 $e_k(_k)$对于千美元$不同于1美元$和j美元$.
因此,发送换位的映射$(i,j)$到$r_{e_i-ej}$将置换组嵌入为该组的子组R(V)美元$由反射生成美元_v$作为$v美元$变化。
让美元(V)$是的子组R(V)美元$由表单元素生成$r_v\cdot r_w$.
索赔:该组美元(V)$索引为2英寸R(V)美元$.
考虑一下空间$W=V+k e_0$通过定义$$\langle v+a e_0,w+b e_0\rangle=langle v,w\rangle+ab$$很明显,这个内部产品延伸上的内层产品V美元$.
如果$v\单位为v$,然后$r_v:W\到W$具有它的属性$r_v:v\到v$由扩展$r_v(e_0)=e_0$.
进一步$r_{e_0}(v)=v$对于$v\单位为v$和$r_{e_0}\cdot r_v=r_v\cdot r_{e_0}$对于每个$v\单位为v$.
因此,集团$R(V,W)$的内部自同构美元(W)$由元素生成$r_{e_0}\cdot r_v$作用于V美元$可以用R(V)美元$通过此操作。
自$r_{e_0}$与…通勤美元_v$对于每个$v美元$,的子组$R(V,W)$其作用是身份在$e_0$可以在此操作下使用美元(V)$.
这表明该组美元(V)$索引为2英寸R(V)美元$.
拓扑参数可以如下所示。
小组$\西格玛_n$以明显的方式对美元(n-1)$-通过对顶点的操作实现单纯形。
符号决定动作是保留还是反转方向。
也许这是一个循环定义,因为问题是什么是方向。答案是,它是在旋转时保持不变,但在反射时倒置的东西。
换言之,我们可以对单纯形应用旋转,以尝试将单纯形恢复到其原始位置。自$3$-循环清楚地用旋转来表示,我们看到(由它们生成的组)$A_n$可以应用于该位置。因此,我们可以转换任何位置使用$A_n$到达一个位置全部的除了两个选择的顶点位置正确。
更新:考虑到manzana给出的答案,人们也可以根据正交组进行辩论。
置换群$\西格玛_n$以自然方式操作n美元$-多维内导空间V美元$具有正定内积。可以按照以下步骤来研究该组O美元(V)$的自同构V美元$:
通过归纳证明任何的自同构V美元$是简单反射的产物。让美元_v$表示恒定的简单反射$v^{\perp}$并发送$v美元$到$-v美元$.
产品$r_v\cdot r_w$两次反射在正交子空间上是常数$\{v,w\}^{\perp}$余维2,因此已确定通过它在跨度上的作用$v美元$和$w美元$.
其中一个显示,如果$u美元$位于$v美元$和$w美元$,然后有一个$t(美元)$这样的话$r_v\cdot r_w=r_t\cdot r _u$.(我们可以$t=r_v\cdot r_w(-u)+u$.)
然后,子组美元(V)$的元素O美元(V)$偶数个反射的乘积是一个连通群。
也就是说美元(V)$是中索引2的子组O美元(V)$.
更新2:针对这些评论,并根据蒂莫西·周(Timothy Chow)给出的答案,这里有另一个(希望更简单)的论点。
让美元(W)$是一个有维度的内部生产空间美元+1$其中包含n美元$-维子空间V美元$.让$e_0、e_1、\点、e_n$表示的标准基础美元(W)$.
如上所述,对于非零矢量$v美元$在里面美元(W)$,让美元_v$表示由定义的反射$r_v(x)=x-2(<x,v>/<v,v>)v$,
对于每个$0<i,j \leq n$定义自同构$R_{i,j}=R_{e_0}$属于美元(W)$注意这些自同构保存 V美元$以及$R_{i,j}$在V美元$正是换位的作用$(i,j)$如上所述。这表明由生成的组$R_{i,j}$是S_n美元$通过上述操作V美元$.
该组的子组修复 $e_0$是$A_n$显然是索引2。
从几何角度来看,上面是对Timothy Chow在对答案的评论中提到的“双锥”刚性运动组的明确实现。