$\operatorname{lcm}（（2-1），（3-1）$

Question

$\DeclareMathOperator\lcm{lcm}$让$p_k$成为千美元$第个质数。设置$$L（n）=\lcm（p_1-1，p_2-1，\dotsc，p_n-1）$$

关于L（n）美元$? 微不足道的是，有一个$L（n）<p_1p_2\dotsb p_n$.从那以后，人们可以做得更好$2$，每个素数都是奇数。因此，如果$n\geq第3季度$，一个有$$L（n）\leq\frac{p_1p_2\cdotsp_n}{2^{n-1}}$$我们可以继续使用更大的素数，使用关于算术级数的Dirichlet定理的显式版本，以同样的方式在分母中输入3的幂，然后是5的幂，以此类推。

在另一个方向上，可以使用Linnik定理获得L（n）美元$但这些都很薄弱。

L（n）美元$是A058254号在OEIS中，但这并没有给出任何非平凡的界限，即使是启发式的。

问题：我们能得到$\log L（n）$，理想情况下有明确的界限？密切相关：这是真的吗$\log L（n）=o（p_n）$? 这是一个很自然的问题，因为$\log\lcm（p_1，p_2\cdots p_n）=\sum_{p\leq p_n}\log p\sim p_n$通过素数定理。

对于我感兴趣的应用程序，我想使用它来获得美元\lcm（p_{n} -1个，p_｛n+1｝-1，p_｛n+2｝-1，\dotsc，p_｛n+m｝-1）$哪里百万美元$至少是关于$n^2美元$，我很乐意$\log\lcm（p_{n} -1个，p{n+1}-1，p{n+2}-1，\dotsc，p{n+m}-1）$生长速度慢于$\sum_{p_n\leqp\leqp{n+m}}\log p\sim p_{n+m}$因此，即使没有渐近式，也有可能得到一个有用的界L（n）美元$.

Answer 1

确实如此$\ln L（n）=o（p_n）$对于$n\到+\infty$为了证明这一点，让我们得到大素数对美元\ln L（n）$然后估算其余部分的贡献。选择一个参数$R<\sqrt p_n$.让$M（n）=\mathrm{lcm}[1,2，\ldots，p_n]$.那么我们有$\ln M（n）=\psi（p_n）\sim p_n$，其中美元\psi$是切比雪夫函数。现在，$$\sum_{p^k\mid L（n），p<p_n/R}\ln p\leq\sum_}p^k\ mid M（n）。$$下一步，如果$p\geq p_n/R$有助于美元\ln L（n）$，那么就有一个自然数$k\leq R美元$和一个素数$q\leq p_n$这样的话$q-1=公里$。我们将评估来自不同千美元$.作为$q\leq p_n$，对于给定千美元$我们应该有$p<p_n/k$.素数$p<x$这样的话$kp+1$素数已知有界$$压裂{k}{varphi（k）}\frac{x}{ln^2x}$$（例如，参见H.Iwaniec，“筛分方法”，第2.6节）。将此应用于我们的案例，我们得到了表单的边界$$O\左（\frac{1}{\varphi（k）}\frac}p_n}{\ln^2p_n}\right）$$对于我们感兴趣的素数，它们的贡献是，$$O\左（\frac{1}{\varphi（k）}\frac{p_n}{\ln p_n}\right）$$对于任何美元\leq R$.总结所有千美元$并利用以下事实$$\sum_{k\leq R}\frac{1}{\varphi（k）}=C_1\ln R+O（1），$$我们获得$$\sum_{p^k\mid L（n），p\geq p_n/R}\ln p=O\left（\frac{p_n\ln R}{\ln p _n}\right）。$$结合第一次和第二次评估和选择$R=\n p_n$，我们得到$$\ln L（n）=O\left（右）。$$证明中使用的结果不依赖于任何特别是非plicit的东西，因此常数可以完全明确。此外，形式素数的界$kp+1$假设是尖锐的，所以边界也应该是渐近尖锐的，除非我遗漏了什么。

Answer 2

这里是$\log（L（n））/p_n$对于$10^2\leq n\leq 10^4美元$: