对施瓦西衍生品的魔力有什么潜在的解释吗？

Question

给定一个函数$f（z）$在复杂平面上，定义施瓦西导数 美元（f）$成为功能

$S（f）=\frac{f''}{f'}-\frac{3}{2}\Big（\frac{f''}{f'}\Bing）^2$

这里有一个更具概念性的定义，它证明了术语的合理性。定义$[f，z，\epsilon]$为交叉比率$[f（z），f（z+\epsilon）；f（z+2\epsilen），f$，并让$[z，\epsilon]$表示交叉比率$[z，z+\ε；z+2\ε，z+3\ε]$（事实上，这只是4，但这个符号让我的观点更清楚了）。人们可以问$[f，z，\epsilon]$近似值为$[z，\epsilon]$; 事实证明，错误在于$o（\epsilon）$因此，我们寻找二阶误差项并发现$[f，z，\epsilon]=[z，\ε]-2 S（f）（z）\epsilon^2+o（\epsillon^2）$因此，Schwarzian导数测量了由$f美元$特别是，美元（f）$对于Möbius变换，精确地为零。

这都是背景。从我目前所说的来看，施瓦茨导数充其量只是一种好奇。乍一看，并不明显的是，施瓦西衍生产品具有神奇的力量。以下是一些示例：

第一个魔力：施瓦西导数与一维动力学密切相关，这源于它在构图中以特定的方式表现。例如，如果$f美元$是单位区间到自身的光滑函数，具有负的Schwarzian导数n美元$临界点，则它最多有n+2个吸引周期轨道。

第二个神奇的力量：它揭示了Sturm-Liouville方程的解的一些深刻之处，$f“”（z）+u（z）f（z）=0$.如果f_1美元$和f2美元$是两个线性独立的解，那么比率$g（z）=f_1（z）/f_2（z）$满足S（克）=2 u$.

第三魔力：Schwarzian导数是$\mathbb美元{R} P（P）^1$这可能只是对我上面给出的概念定义的重申，但我不确定；无论如何，这使得Schwarzian导数与共形场理论有很大的相关性（或者我听说过）。

我相信还有更多。我想知道是否所有这些力量都可以用一些潜在的几何原理来解释。它们之间似乎都有着模糊的相关性，但特别是第一权力似乎很难以任何明显的方式与定义联系起来。有人有什么见解吗？

Answer 1

像许多人（但不是所有人）一样，我很难用施瓦西式的公式来思考。对我来说，几何图形效果更好。我将描述一个几何图形，类似于我在论文“拉链和单价函数”中讨论的内容（也可以在其他地方找到，但我没有很好的参考意识）。

Moebius变换组是三维的，对于R的任何局部定义的微分同态f或C的任何局部确定的全纯映射，可以通过唯一的Moebiu斯变换，即在该点上的密切Moebius变换，拟合任意点上的值、一阶导数和二阶导数。由此，您可以制定一个配方，将微分同态扩展到双曲几何的上半平面或上半空间模型：根据其底部的密切莫比乌斯变换映射每条垂直线。当您这样做时，垂直线是等距映射的，但除非f是Moebius变换，否则度量必然在水平方向上扭曲。施瓦兹导数给出了这种失真的渐近行为。对于真实的地图，如果施瓦西是负的，双曲射线就会彼此弯曲。垂直于垂直线的双曲线映射为向下弯曲的曲线（就双曲线度量而言）。如果考虑R上的任何区间，它有一个自然投影不变度量，称为Hilbert度量，在这种情况下用一维双曲度量标识。弯曲意味着，相对于其图像的希尔伯特度量，度量展开为f。例如，$\log（t）$是$（0，\infty）$的弧长参数化。映射$x\rightarrow x^k$将参数扩展了$k$的系数。膨胀特性对动力学分析具有重要意义。

在复杂分析情况下，Schwarzian是一个全纯二次微分，可以用两个垂直的叶理在几何上表示：一组流线，其中二次型取正实数，另一组垂直线，其中取负实数。只要二次型有一个简单的零，叶理就有奇点，其中直线形成Y型，以3种方式分支。在f的任何一个临界点，都有一个Schwarzian的双极，其中正实叶理围绕着它旋转，负实叶理是径向的。这些线显示了f的延伸如何在复杂平面附近渐近弯曲曲面；如果你从一个脐状曲面开始，比如平面、水平面或等距曲面，它们通过f的延伸显示了曲面图像曲率线的渐近模式。例如，你可以通过围绕z轴映射双曲圆柱体来想象z->z^2的延伸（它们在上半空间中表现为圆锥体），围绕垂直轴将其缠绕两次（从而将圆周拉伸2倍），并将其垂直拉伸2倍。沿子午线的曲率增加，平行于轴线方向的曲率减小。当然，小圆盘的庞加莱度量是保留的，但你仍然可以看到双曲空间中曲面行为的非正规性的度量效应。你也可以通过C上的一个小圆的图像的形状看到它。到了二阶，它仍然是圆的，但有一个三阶效应使它成为椭圆，其中短轴是施瓦兹函数为负的方向。

当你查看全纯映射的二次微分的计算机绘图时，它们会弹出到三维，这强烈暗示了一些曲面族的几何形状，这些曲面族可以与C的全纯映射相关联。

^{（来源：Wayback Machine）}

有理函数$f（z）（=（z^3-3z-1）/（z^3+1）$的Schwarzian。为像$f$这样的复杂有理函数绘制一个揭示性的图是很有挑战性的，因为它在黎曼球面上映射了3次，但Schwarzian很容易绘制，并且显示了f的扩展如何弯曲双曲空间。f（z）的临界点被圆形正实圆包围，其中Schwarzian有一个双极，这表明它们是如何围绕一个核心奇点两次缠绕的。在中心可以看到一个典型的零，弯曲分为三个方向。函数f本身的零和极点是不可见的，因为$0$和$\infty$在$S^2=CP^1$的几何中没有特殊意义。

够了。。。施瓦西人有无穷的奥秘，但这些几何图像对我很有帮助。我支持维克多的建议：我也没有读过奥斯维恩科-塔巴契尼科夫的书，但我相信从以前的经验来看，这是一本有趣的材料。

附录。既然你表达了对真实情况的兴趣，这里有一种方法来说明它。想法很简单：在域中取一个标准的小时环族，在这种情况下，高度恒定的圆与实线相切，并通过密切的莫比乌斯变换将它们向前推。图像实际上是由$f$和$f'$决定的，但要计算（而不仅仅是查看）信封需要$f''$。这张图片是$x^3-3x$（在图像上折叠$[-2,2]$三次），间隔为$[-2.1,2.1]$。包络线向下双曲曲率的肥胖形状与区域包络线向上曲率的对比，表明毛毛虫长出了皮肤，并显示了负的施瓦兹曲线。

^{（来源：Wayback Machine）}

Answer 2

以下书籍可能包含您正在寻找的类型的见解，至少是第二和第三种解释：

V.Ovsienko、S.Tabachnikov、，新旧射影微分几何。从Schwarzian导数到微分同胚群的上同调。剑桥数学丛书，165。剑桥大学出版社，剑桥，2005年。国际标准图书编号：0-521-83186-5先生

虽然我没有读过这本书，但同一作者的早期文章，包括现在已不复存在的《Quant》杂志上的一篇广受欢迎的论述，都是非常有见地的。以下是作者如何开始他们的故事：

每一位工作的数学家都在他所受教育的某些方面，很可能试图忘记这一点立即表达。这本书的目标之一是说服读者施瓦西导数既不复杂也不奇异，事实上是一个美丽自然的几何物体。

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我想补充一下“第三种魔力”的说法，即Schwarzian导数是圆$S^1$的微分同胚群的一个共循环，其值在$S^1'上的二次微分中，并且由于后一个空间可以用$S^1上向量场的对偶空间来标识，$它对$\text{Diff}（S^1）；$的中心扩展名进行编码这个中心扩展的无限半版本是Virasoro代数。

Answer 3

没有人指出是什么。。。施瓦西导数? （AMS 2009年1月的通告），这很简洁地解释了很多。

Answer 4

这是群上同调中的一个共循环。

$S[f\circ g]=S[f]^g+S[g]$

这就是cocycle条件！这个群是Aut（亚纯函数），另一个群是亚纯函数。

Answer 5

Schwarzian导数编码Bott-Virasoro群的伴随作用。它的一个版本是${Diff}\_{\mathcal S}（\mathbb R）\times\mathbbR$（这里$\mathcal S$代表“迅速向同一性下降”）$$\binom{\phi}{\alpha}。\二进制{\psi}{\beta}=\binom{\phi\circ\psi{\alpha+\beta+c（\phi，\psi）}$$Bott摩托车所在位置：$$c（\phi，\psi）=\frac12\int\_{\mathbb R}\log（\phi'\circ\psi）\，d\log（\ psi'）。$$这在维克托·普罗萨克斯（Viktor Protsaks）的回答中提到的奥维辛科（Ovsienko）和塔巴什尼科夫（Tabashnikov）一书的第22页（ff）中有所提及。关于这个答案的简短说明见第55页，共页（此处）。我认为这在很大程度上体现了施瓦茨导数的魔力。将其对偶为余伴作用，并注意到许多余伴轨道的形式为$Diff\_{mathcal S}（mathbb R）/PSL（2，mathbb R）$，以查看投影性质。等。

Answer 6

设$f:\mathbf{R}\mapsto\mathbf{P}^1$是一个实现为$y=f（x）$的函数，其中$y$是$\mathbf1{P}^1$上的仿射坐标。由于目标空间是射影线，因此需要将$f$提升到齐次坐标，即选择$\mathbf{v}=（u（x），v（x））$，使$u/v=f$。（也许调用这个同质坐标不太合适，相反，这是将$f$提升到$\mathbf{P}^1$上的线束，即在$\mathbf{R}^2$中将$f$转换为参数化曲线。）区分约束给出$$\frac{u'v-uv'}{v^2}=f'，$$，这建议将$u'v-v'=1$作为附加约束（假设$f'>0$）。此操作将$u$和$v$修复为$$u=\frac{f}{\sqrt{f'}}$$v=\frac{1}{\scrt{f'{}}$$

添加的约束表示提升曲线的角动量为常数，$\mathbf{v}'\times\mathbf{v}=1$，这意味着加速度向量平行于位置向量$\mathbf{v''}=\lambda\mathbf1{v}$。比例因子$\lambda=\lambda（x）$是$$\lampda=\frac{u''}{u}=\frac{v''}{v}=-\frac}{2}\frac{f'''f'-\fracc{3}{2{（f''）^2}{（f′）^2{2}，$$，这是一个额外因子为$-1/2$的施瓦兹因子。

比例因子$\lambda$在$\mathbf{R}^2$的线性变换下是不变的。由于目标空间上的射影坐标变化提升为这样的线性变换，因此Schwarzian与仿射坐标$y$的选择无关，并且是射影不变量。

Answer 7

解决方案的速度$f（x-c\cdot t）$一维热方程

$$\frac{\部分}{\部分t}f（x-ct）=-c\frac}\部分}}{\局部x}f（x-ct）=\alpha\frac2\partial^{2}}{\partialx^{2{f（x-ct）\$$

取决于$$c=\frac{-\alpha D_{x}^{2}\，f（x）}{D_{x_{x} 如果（x） ）]\$$

类似地，孤子解的速度$u（x-ct）$KdV方程

$$u美元_{t} -u个\cdot u{x}+\压裂{1}{12e{2}}\，u{xxx}=0\$$

取决于

$$c=\压裂{D_{x}^{3} u个（x） -6e个_{2} D类_{x} （u（x））^{2}}{12e_{2} D类_{x} u个（x） }=\压裂{1}{6e_2}S_{x} {h^{-1}（x）\}（g（x））^{2}=-\frac{1}{6e_2}S_{x} \{h（x）\}$$

$$=\压裂{e_{2}}{3}\左（\压裂{\omega_{2}-\ω{1}}{2}\右）^{2}$$

哪里$\，u（x）=h'（x）$和$，g（x）=e_{2}（x-\omega{1}）$.

注：

$$g（h（x））=e_{2}\；（h（x）-\ω{1}）\；（h（x）-\omega{2}）=h'（x）$$

是一个Riccati方程，Schwarzian可以表示为

$$S_{x}\{h（x）\}=D_{x}^{2}\ln[D_{x} 小时（x） ]-\frac｛1｝｛2｝\left[D_x\ln[D_{x} 小时（x） ]\right]^{2}=D_{x}^{2neneneep \ln[u（x）]-\frac{1}{2}\left[D_x\ln（u（x））\right]^{2{$$

（参见奥斯古德的《关于Schwarzian导数的新旧》（Osgood），了解关于导数的出色调查，以及彼得·米科尔（Peter Michor）关于KdV方程解、Virasoro-Bott群测地线、Schwarzien和Moebius变换（齐次solns）之间关系的论文。）

（2021年7月2日添加了关于Riccati方程的明确注释，）

Answer 8

设G（k，n）是n个变量中的k次喷射群，它由R（n）在合成操作下固定原点的局部微分同态的k个喷射集组成。在坐标系中，可以使用链式规则显式地编写此组操作。

现在考虑G（3,1）和G（2,1）以及喷流诱导的从G（3,1）到G（2,1）的明显投影同态。这个投影分裂了，也就是说，有一个内射同态将G（2,1）嵌入到G（3,1）中。用G（2,1）识别这个注入的图像，我们可以形成左陪集空间G（3,1）/G（2,1。现在，Schwarzian导数的表达式定义了G（3,1）/G（2,1）上的“坐标”。这些计算的细节可以在《李群和几何结构的替代方法》一书的第152-153页中找到。这种结构概括为任意尺寸，是定义几何结构的一种非常特殊的情况，如本书第174-182页所述。

这里总结一下，这些分裂来自同质空间，并定义了“几何连接”，这些连接不一定是经典意义上的连接（请记住，连接可以定义在一般的主束和向量束上，本质上是拓扑对象）。此外，这些分裂是建立在几何结构的定义中的，因此没有必要寻找适合某些几何结构的“特殊连接”。因此，斯瓦兹衍生物的魔力是“连接”魔力的特例。

作为一个有趣的细节，G（3,1）对G（3,1）/G（2,1）的明显左作用给出了经典教科书中发现的Schwarzian导数的变换规则。例如，在仿射情形（G（2，n）对G（2、n）/G（1，n）的作用）中，我们得到了切线丛上“连接分量”的众所周知的变换规则，这是向量丛上连接理论的历史起点！G（1，n）对G（1,n）/G（0，n）=G（1,n）的作用给出了本书中详细研究的绝对平行性。

Answer 9

如果我没有记错的话，一个非常简单的解释是可能的：

表征共形网或更一般的调和网提升到最小表面，结果是存在四个基本实体的简单统一关系正交轨迹的归一化：

1. 测地曲率变化之和为零。

2. 测地曲率变化的差异是真实的Schwarzian导数的一部分。

3. 测地加速度变化的差异是施瓦西导数的虚部。

4. 测地加速度变化的总和为高斯曲率。

http://vixra.org/abs/1301.0071