我怀疑最初的公式美元\增量（x）$我在上面的问题中定义的不太正确，因为$\delta'（x）$在以下位置具有不连续性$x=0$.定义$\增量（x）$在下面的公式（1）中，消除了解决此问题的原始公式的分段性质，并且似乎为通过下面公式（2）中定义的傅里叶卷积导出的公式提供了更简单的结果。的公式美元\增量（x）$下面公式（1）中定义的也似乎提供了通过下面公式（2）中所定义的傅里叶卷积推导更大范围函数的公式的能力。评估限制$f美元$以下公式（1）中是评估频率，假设为正整数。当计算以下公式（1）（以及由此导出的所有公式）时，计算极限N美元$必须这样选择$M（N）=0$哪里百万美元（x）$是Mertens函数。公式（1）如下图（1）所示。我相信美元\增量（x）$下面公式（1）中定义的收敛于分配意义。
(1) $\quad\delta（x）=\underset{\underset{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{\text{lim}}\quad_sum\limits_{N=1}^N\frac{\mu}{N}\右）\frac{1}\sum\limits_{k=1}^{2\f\N}\cos\left（\frac{\pikx}{N{right）\right）$
(2) $\quad g（y）=\int\limits_{-\infty}^\inftyδ（x）\，g（y-x）\、dx$
公式（1）美元\增量（x）$上述公式（3a）和（3b）适用于$θ（x）$（如下文图（2）和（3）所示）和公式（4）美元\增量'（x）$（如下图（4）所示）。注释公式（3b）$θ（x）$下面包含上两个嵌套和的闭合形式表示千美元$式（3a）中$θ（x）$如下所示。
（3a） $\quad\theta（x）=\underset{\underset{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{\text{lim}}\quad_frac{1}{2}+\frac{1'{\pi}\sum\limits_{N=1}^N\mu（N）\left c{2\pikx}{N}\右）}｛k｝-\压裂{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{2\f\n}\frac{\sin\left（\frac{\pikx}{n}\right）}{k}\rift）$
（3b） $\quad\theta（x）=\underset{\underset{M（N）=0}{N\to\infty}}{text{lim}}\quad_frac{1}{2}+\frac{i}{4\pi}\sum\limits{N=1}^N\mu（N）\left（\log\left N}}\right）+\log\left（1-e^{\frac{2i\pi（x+1）}{N}}\ right）-\log\leaft（1-e ^{-\frac}2i\π（x-1）}{N}}\ right}\right）-\log\left（1-e^｛-\frac｛2i\pi（x+1）｝｛n｝｝\right）\right）$
(4) $\quad\delta'（x）=\underset{\underset{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{\text{lim}}\quad_pi\sum\limits_{N=1}^N\frac{\mu（N）}{N^2}\left \pik（x+1）}{N}\右）+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{2\f\N}k\\sin\左（\frac}\pikx}{N{right）\右）$
以下公式是根据上述公式（2）中定义的傅里叶卷积，使用美元\增量（x）$定义见上述公式（1）。下面定义的所有公式似乎都收敛于$x\in\mathbb{R}$。注意上两个嵌套和中的一个千美元$在下面的公式（6）中$e^{-y^2}$具有闭合形式表示。上的两个嵌套和千美元$在下面的公式（5）、（8）和（9）中，有封闭形式的表示，但由于它们相当长且复杂，因此下面不包括这些表示。
(5) $\quad e^{-|y|}=\underset{\underset{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{\text{lim}}\quad\sum\limits_{N=1}^N\mu（N）\N\left）}{N}\右）}{4\pi^2k^2+N^2}-\sum\limits_{k=1}^{2\f\N}\frac{\cos\left（\frac{\piky}{N{right）}{\pi^2 k^2+N^2}\ right）$
(6) $\quad e^{-y^2}=\underset{\underset{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{\text{lim}}\quad\sqrt{\pi}\sum\limits_{N=1}^N\frac{\mu{2\pik（y-1）}{N}\右）+\cos\左（\frac{2\pik（y+1）}{N}\右{4n^2}}+e^{-\frac{\pik（\pik-4iny）}{4n*2}}\right）$
$\qquad\quad=\underset{\underset{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{\text{lim}}\quad\sqrt{\pi}\sum\limits{N=1}^N\frac{\mu \右）+\vartheta_3\左（\frac{\pi（y+1）}{N}，e^{-\frac}\pi^2}{N^2}}\右）-2\右）-\frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{2\f\N}\左（e^{-\frac{\pik（\pik+4iny）}{4n^2}}+e^{-\frac}\pik$
(7) $\quad\sin（y）\e^{-y^2}=\underset{\underset{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{\text{lim}}\quad_sqrt{\pi}\sum\limits_{N=1}^N\frac{\mu}{4}}\cos\left（\frac{2\pik}{N}\right）\sinh\left（\frac{2\py}{N{right）\sin\lefte^{-\frac{\pi^2k^2}{4n^2}-\frac{1}{4}}\sinh\左$
(8) $\quad\frac{1}{y^2+1}=\下集{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{text{lim}}\quad_pi\sum\limits_{N=1}^N\frac{\mu（N）}{N}左{N}\right）\cos\left（\ frac{2\piky}{N}\ right）-\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{2\f\N}e^{-\frac{\pik}{N{}}\cos\leaft（\ frac{\pik y}{N}\rift）\右侧）$
(9) $\quad\frac{y}{y^2+1}=\下集{M（N）=0}{N，f\to\infty}}{text{lim}}\quad_pi\sum\limits_{N=1}^N\frac{\mu（N）}{N}左（2\sum\limits2{k=1}^f\N}e^{-\frac}2\pik}{N{}}}左{N}\right）\sin\ left（\frac{2\piky}{N}\ right）-\frac}1}{2}\sum\limits_{k=1}^{2\f\N}e^{-\frac{\pik}{N{}}\sin\ leaft（\frac{\pik y}{N}\right）$
此答案的其余部分说明了公式（1）美元\增量（x）$以及上面定义的其他一些公式，所有这些公式都是从公式（1）导出的。这些导出公式的观测收敛性证明了上述公式（1）的有效性。
下图（1）说明了以下公式（1）美元\增量（x）$评估时间：$f=4$和$N=39$该图的离散部分说明了公式（1）美元\增量（x）$计算精确到2美元$步长的倍数$θ（x）$整数值为x美元$什么时候$|x|<N$.
图（1）：公式（1）的图解美元\增量（x）$
下图（2）说明了参考函数$\θ（x）$蓝色，公式（3a）和（3b）适用于$θ（x）$分别用橙色和绿色表示，式（3a）的计算条件为$f=4$公式（3a）和（3b）均在$N=39$.
图（2）：公式（3a）和（3b）的图解$θ（x）$（橙色和绿色）
下图（3）说明了参考函数$θ（x）$蓝色，公式（3b）$θ（x）$评估时间：$N=39$和$N=101$分别为橙色和绿色。
图（3）：公式（3b）图解$θ（x）$评估时间：$N=39美元$和$N=101$（橙色和绿色）
上图（2）和（3）说明了上述公式（3a）和（3b）在与参考函数相比的斜率下进行评估$\θ（x）$图（3）说明了该斜率的大小随着评估极限的大小而减小N美元$增加。该斜率由下式给出$-\压裂{3}{4}\sum\limits_{n=1}^n\压裂{\mu（n）}{n}$对应于$-0.0378622$在$N=39$和$-0.0159229$在$N=101美元$.自$-\frac{3}{4}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\mu（n）}{n}=0$，上述公式（3a）和（3b）收敛到参考函数$θ（x）$作为$N\到\ infty$（和作为$f\到\ infty$对于公式（3a））。
下图（4）说明了以下公式（4）美元\增量'（x）$以上评估时间$f=4$和$N=39$图中红色离散部分说明了公式（4）的计算美元\增量'（x）$整数值为x美元$.
图（4）：公式（4）的图解美元\增量'（x）$
下图（5）说明了参考函数$\压裂{y}{y^2+1}$蓝色，公式（9）适用于$\压裂{y}{y^2+1}$以上评估时间$f=4美元$和$N=101$.
图（5）：公式（9）的图解$\压裂{y}{y^2+1}$
