是否有一种替代方法将每个费马曲线与椭圆曲线联系起来？

Question

我问过这个关于MSE的问题但没有得到任何回应，所以我在这里提问。如果这个问题不是研究级别的，我提前道歉。

费马度曲线n美元$是一组解决方案$x^n+y^n=z^n$,$x、y、z\in\mathbb R$.英寸这个问题，OP提供了一个与费马度曲线相关的替换$n=3.4$两条不同的椭圆曲线。变换费马次数曲线$3$、替换$$a=\frac{12z}{x+y}，\quad b=\frac{36（x-y）}{x+y}$$生产$b^2=a^3-432$椭圆曲线。类似于费马度曲线$4$、替换$$a=\frac{2（y^2+z^2）}{x^2}，\quad b=\frac{4y（y^2+z^3）}{x^3}$$给$b^2=a^3-4a$然而，所用的替代物一点也不明显，这让我怀疑，

有没有类似的替代可以将任意次数的费马曲线与椭圆曲线联系起来？

这相当于询问从费马曲线到椭圆曲线是否总是存在非恒定态射。

提前谢谢你！

Answer 1

以下参考文献似乎回答了哪些Fermat曲线允许非常数映射为椭圆曲线的问题：

Neal Koblitz、David Rohrlich、，费马曲线雅可比中的简单因子，《加拿大数学杂志》30第6号（1978），第1183-1205页，doi:10.4153/CJM-1978-099-6(免费pdf).

作为定理2的一个特例，如果$N\geq 5美元$是质数$\equiv 2\textrm{mod}3$然后是雅可比矩阵的简单因子$J_N（美元）$费马曲线的$X_N（美元）$都有尺寸$（N−1）/2$例如，Fermat曲线X_5美元$和$X_{11}$不要映射到任何椭圆曲线。

费马曲线的动机$X_N（美元）$已被广泛研究：它分解为与分圆域中的赫克人物相关联的动机的直接总和$\mathbf{Q}（\zeta_N）$，参见Otsubo的工作关于Jacobi-sum-Hecke的特殊值L美元$-功能还要注意，费马曲线的每个椭圆因子都必须有复数乘法，这主要是因为$X_N（美元）$也就是雅可比矩阵$J_N（美元）$，承认了一个相当大的团体的行动$\mu_N\次\mu_N$，其中$\mu_N$是以下组N美元$-团结的根源$\mathbf{C}$.更一般地说$J_N（美元）$是CM阿贝尔品种。