欧拉方向函数的范围和28的乘法

Question

如果$n$在Euler totiten函数的范围内，则同样可以保证$n$的某些倍数是totiten值。这方面最简单的例子是，如果$n$在totiten的范围内，那么$2n$也是：
写入$n=\phi（k）$。
如果$k$是奇数，那么$2n＝\phi（4k）$。如果$k$是偶数，则$2n=\phi（2k）$。
更一般地说，对于所有正整数$m\leq 27$，我可以通过乘以$m$来确定totient的范围是否携带到自身：
$m=1$：这只是一个微不足道的值。
如果$m\geq 3$和$m$是奇数，则与$m$相乘不会保留为一个总计值，因为$1=\phi（1）$但$m$不在$\phi$的范围内。
$m=2$：见上文。注意，由于$2$的乘法保留了total值，因此$4$、$8$或$16$的乘法器也保留了totil值。
$m=6$：乘以$6$保留为一个总值：
如前所述，写$n=\phi（k）$。
如果$3\nmid k$，则$6n=\phi（9k）$。
如果$3\mid-k$，$3n=\phi（3k）$。然后，因为3n$是一个总价值，所以6n$也是。
$m=10$：$110=\phi（11^{2}）$，但$110\cdot 10=1100$不在$\phi$的范围内。
$m=12$：乘以$6$和$2$将把tontient值带到tontient数值，因此乘以$12$也会。
$m=14$：$14$不在$\phi$的范围内，因此与$14$相乘不会将$1$带到一个totitent值。
$m=18$：乘以$18$保留为一个总值：
如前所述，写$n=\phi（k）$。
如果$3\nmid k$，则$18n=\phi（27k）$。
如果$3\mid-k$，$9n=\phi（9k）$。然后，因为9n$是一个总价值，所以18n$也是。
$m=20$：乘以$20$保留为一个总值。
如前所述，写$n=\phi（k）$。
如果$5\nmid k$，$20n=\phi（25k）$。
如果$5\mid k$，$5n=\phi（5k）$。然后，由于5n$是一个总价值，所以20n$也是一个总值。
$m=22$：$22=\phi（23）$，但$22\cdot 22=484$不在$\phi$的范围内。
$m=24$：与$12$和$2$相乘将把tontient值带到totient值，因此与$24$相乘也会。
$m=26$：$1$在$\phi$范围内，但$26$不在范围内。

所以我的问题是：$28$的乘法总是把totient值带到totient数值吗？
我曾尝试向OEIS提交一个由正整数乘法组成的序列，通过该乘法可以保留为一个方向值，但我没有足够的序列项（或确定序列成员身份的算法）。（我应该提一下如果它被批准的话，序列号会是什么吗？我也不认为用这一个术语来扩展序列会使它被接受，但让那些比我能投入更多时间的人来评估这个问题是件好事。）

Answer 1

答案是：不.

这里是最小的反例：取$n=29\cdot7645373=221715817=29\cdot197^3$。

然后$\phi（n）=212983792$和$28\cdot\phi。

我用以下方法找到了这个平价单线：

? 对于（i=010000000，如果（！istotient（28*eulerphi（29*i）），打印（i））7645373

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编辑：再往下看，有很多$n=29\cdot197^3\cdoti形式的反例$

? 对于（i=1，+oo，如果（！istotient（28*eulerphi（29*197^3*i）），打印1（i）；打印1（“，”））1,2,3,4,6,7517,15034,18059,22551,28019,30068,30983,36118,45102,56038,61966,65267,67427,67499,71387,84057,84947,90677,92949,97187,112076,115469,123932,127487,130534,130787,134854,134998,142774,168114,169067,169894,181354,185898,191579,194374,195801,202281,214161,218627,227519,230189,230938,233939,239843,247847,252029,253367,254841,254974,261068,261574,262643,269708,272031,285548,289937,291561,294059,297707,330587,338134,339788,339827,347003,349343,350159,362708,381917,383158,387503,388748,391602,392361,404562,405683,427247,428322,437254,440039,447179,454907,455038,460378,467783,467878,475367,479686,489197,495694,504058,506734,507201,509682,514247,523148,525286,544062,546719,548837,548903,564797,569813,574737,579287,579874,583122,588118,595414,597383,608117,628379,635939,644597,647579,654527,655881,661174,664019,676268,679654,682557,690567,694006,697259,698686,700318,701817,714827,718139,723287,739163,743541,748019,750719,760101,763013,763834,766316,775006,776267,781307,784722,787929,800399,804179,811366,817319,829847,832787,847163,850727,854494,863887,874508,877403,878987,880078,880799,882083,889589,894358,901997,909814,910076,920756,935566,935756,950734,962747,974837,978203,978394,979919,980327,981287,989123,991388,991761,1013468,1014402,1017923,1019481,1028494,1030307,1036307,1041009,1048029,1050572,1053293,1053407,1070039,1082717,1093438,1097674,1097806,1119299,1129594,1138637,1139626

如果您正在寻找更大的$n$，可以采用形式为$n=29\cdot 197^14\cdot i$的数字来表示$i\in\｛1,2116387232774，…\｝$

这些小案例让人觉得似乎有道理，因为有无数反例。你能找到一个无限的家庭吗？有没有反例，不能除以197^3$？