$3^n-2^m=\pm 41$是不可能的。如何证明？

Question

$3^n-2^m=\pm 41$对于整数$n$和$m$是不可能的。如何证明？

Answer 1

同余$3^n-2^m\equiv41\pmod{60}$没有解。

同余$3^n-2^m\equiv-41\pmod{72}$没有解。

Answer 2

作为解决这个问题的一个有价值的提示，我考虑从我关于初等数论的讲座中摘录以下内容。

定理（约合1320美元；列维·本·格尔森1288-1344）。方程式$$（1） \quad 3^p-2^q=1$$和$$（2） \四2^p-3^q=1$$整数$p，q>1$中没有解，除了解根据方程式（1），$p=2$，$q=3$。

证明。（1） 如果$p=2k+1$，则$$2^q=3^p-1=3\cdot9^k-1\equiv2\pmod4，$$对于$q>1$，这是不可能的。

如果$p=2k$，则$2^q=3^p-1=（3^k-1）（3^k+1）$表示$3^k-1=2^u$和$3^k+1=2^v$。自$2^v-2^u=（3^k+1）-（3^k-1）=2$，我们有$v=2$和$u=1$。这对应于唯一的解决方案$q=u+v=3$和$p=2$。

（2） 如果$q\ge1$，则$3^q+1$不能被~$8$整除。事实上，如果$q=2k$，那么$3^q+1=9^k+1\equiv2\pmod8$；如果$q=2k+1$，则$3^q+1=3\cdot9^k+1\equiv4\pmod8$。因此$p\le2$，因此$p=2$。后者意味着$q=1$这与解决方案不符。