2016年8月新增：我写了这个，可以在https://arxiv.org/abs/1608.02999
$\def\Hom{\mathrm{Hom}}\def\Map{\mathrm{Map}}\def\ad{\mathm{ad}}$
我认为这是真的。我将在这里草拟一个可能的证据。我还没有仔细检查了所有的东西，还有一些东西需要检查。请随意这样做。
首先，我们可以假设$H=G$：我们想证明$（B_G\Pi）^G\\如果$G$为紧李和$\Pi$是紧李和1-型。
我们也可以考虑到$B\Pi$映射上同伦纤维上的诱导映射（由以$BG$为基点进行评估。）也就是说，我们想展示$$\Hom（G，\Pi）\to\Map_*（BG，B\Pi$$是一个弱等价。此处$\Hom（G，\Pi）$被拓扑化为$\Map（G，\Pi）$的子空间。我们知道这是同胚的$\coprod_{[\phi]}\Pi/C_\Pi（\phi（G））$，共轭上的一个余积同态类$G\to\Pi$（请参见紧致李群的近同态是共轭的).
鉴于此，很明显，当$G$为紧凑型和有联系的（减少到$\Pi的情况$是圆环体）。很难理解为什么这对普通$G$来说是如此：虽然我们可以“计算”双方，但会计是不同的很难匹配。
以下是一个基于有效想法的一般证明当$\Pi$是一个圆环时（这涉及到连续cochains的概念如Graeme Segal，“拓扑群的上同调”）。它应该适合于一些已知的技术（拓扑2-群中系数的拓扑群的上同调？），但我不想费心搞清楚是什么或如何实现的。
考虑数据包括
（这是一种交叉模。）鉴于此，定义$E（G，（\Pi，V））$为对$（f，v）$的空格，其中$f\colon G\to\Pi$和$v\colonG次G到V$是连续映射，满足
- $f（g_1）f（g_2）=\exp[v（g_1,g_2）]f（g_1g_2）$，
- $v（g_1，g_2）+v（g_1g_2，g_3）=\ad（f（g_1））v（g_2，g_3）+v。
（我可能还需要一个规范化：$f（e）=e$。或者没有。）
我想到的示例是$E:=E（G，（\Pi，T_E\Pi））$和$E^0：=E（G，（\Pi，0））$。索赔如下。
$E$弱等价于$\Map_*（BG，B\Pi）$。要计算映射空间，您需要爬升余复杂空间$[k]\mapsto\地图_*（G^k，B\Pi）$。因为$B\Pi$是2型，所以您不需要爬得很远。这个想法是，如果你这样做，你要记住事实包括：
你可以看到你得到了一个等价物。（我提出了定义通过这样做，$E$完全正确。）
这有点粗略。
更具体地说：$\Map_*（BG，B\Pi）$可以用点单形空间之间的映射空间来标识，从$G^\bullet$到$S_\bullet：=\bigl（[n]\mapsto\Map_x（\Delta^n/\mathrm{滑雪}_0\Δ^n，B\Pi）\bigr）$。空间$E$也是从$G^\bullet$到$N_\bullet$之间的映射空间，其中$N_\fbullet$$是由交叉模块$（\Pi，V）$（交叉模块的神经）构建的简单空间，如https://mathoverflow.net/q/86486)带有$N_N\近似\Pi^N\times V^{\binom{N}{2}$。不难证明$N_\bullet$和$s_\bullet$是弱等价的Reedy fibrant单形空间；他们都从$\Pi^\bullet$收到一张地图，这显示了等价性。（但请注意：要证明$N_\bullet$是Reedy的谎言，关键在于$\exp$是覆盖图.)
$E^0$同胚于$\Hom（G，\Pi）$。是的。
包含$E^0\subseteq E$是弱等价。
为了看到这一点，让$C^1:=\Map（G，V）$作为下面的拓扑组逐点加法。有一个操作$C^1\curvarrowright E$，由$u\cdot（f，v）=（f'，v'）$其中
- $f'（g）：=\exp[u（g）]f（g）$，
- $v’（g_1，g_2）：=u。
值得注意的是，对于E$中的任何$（f，v）\，生成的映射$G\xrightarrow{f}\Pi\to\Pi/\Pi_0$是同态。所以我们写对于$\gamma\in\Hom（G，\Pi/\Pi_0）$，$E=\coprod E_\gamma$，$C^1$acts在每个$E_\gamma$上。
考虑$（f，0）\in E_\gamma^0=E_\gama\cap E^0$。注意，对于某些$f'$if和仅当Z^1_\gamma$中的$u\，其中这是$u\冒号G\到V的集合$这样的话
- $u（g_1）-u（g_1g_2）+\ad\gamma（g_1）u（g_2）=0$。
所以动作传递给内射映射$C^1\times_{Z^1\gamma}E^0_\gamma\toE_\伽马$。事实上，它应该是同胚的。看看这是什么满腹，固定$（f，v）\在E_\gamma$中；我们需要求解C^1$中的$u\，这样
- $u（g_1）-u（g_（1g_2）+\ad\gamma（g_ 1）u（g_2）=v（g_，g_2）$。
这相当于在的复数$C^\bullet_\gamma$中$H^2$的消失连续的cochains:$C^t_\gamma:=\Map（G^{t}，V_\gamma）$（其中微分使用操作$\ad\gamma\colon G\to\mathrm{Aut}（V）$）。这个消失是因为$G$很紧凑，所以我们可以对Haar进行“平均”关于非等变收缩同伦论的测度$D^\bullet_\gamma=\将（G^{\bullet+1}，V_\gamma）$映射到收缩同伦在$C^\bullet_\gamma=（D^\bullt_\gama）^G$上。
鉴于此，因为$C^1$和$Z^1_\gamma$都是可收缩群（实际上，$Z^1_\gamma=V/V^{\gamma（G）}$乘以$H^1=0$），我们应该具有$C^1\times_{Z^1\gamma}E^0_\gamma$弱相当于$E^0_\gamma$。
注意：在$\Pi$是阿贝尔的情况下，我们只得到了一个同胚$C^1\乘以E^0\约等于E$。
