赫克均衡分布

Question

对于素数$p\equiv1\pmod{4}$，我们可以写$p=a^2+b^2=N（a+bi）$。因此$$a+bi=p^{1/2}e^{i\varphi}$$其中$\varphi\in[0,2\pi]$。我知道赫克证明了$\varphi$是等分布的。我正在为这个好结果寻找一个参考。如果有人能给我推荐信，我将不胜感激。

Answer 1

一个参考是第十五章的定理6（素数密度和Tauberian定理）

南朗：代数数论（Addison-Wesley，1970）。

这可能比赫克的结果更普遍，但理想和素数在扇区中的均匀分布在第318页的示例2中，对高斯数进行了单独说明。

[不，我根本不知道这件事；我的学生David Jao需要这个结果2003年他的论文中有一个真正的二次域在参考书目中发现他使用了朗的参考文献$-$或者更准确地说，是斯普林格的第二版（1994年）。]

Answer 2

这本好书的第五章对赫克的这一结果进行了非常实际的处理几何和解析数论，作者Hlawka、Schoißengeier和Taschner。脚踏实地，我的意思是，他们直接处理赫克结果的这个具体案例，并且他们用很少的方法证明了它——这个方法是对素数定理的科雷瓦尔-纽曼-扎吉尔方法的修改，因此不需要任何数量上的零自由区域（只需声明$\Re（s）=1$行上的适当对象没有零）。

Answer 3

如果您需要原始参考，这在Hecke的文章中得到了证明(在这里和在这里)他在那里介绍了著名的$L$函数，这些函数与Grössencharakteren有关。

E.赫克，Eine neue Art von Zetafunktitonen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen的新艺术。数学。Z.6（1920），编号1-2，11--51；数学。Z.1（1918），编号4357-376。

以下是摘自Zentralblatt审查赫克的文章：

尤·贝塞特在《斯普拉切德》中饰演萨赫瓦尔特Formenthorie，so ergeben sich Sätze von folgender艺术：杰德·德·福尔曼$x^2+y^2$und$x^2−2y^2$stellt Enendlich vielePrimzahlen dar，wenn man die Variabeln先生$x$，$y$贝里比根温克勒拉姆·埃因施朗克（welcher von）zwei vom Nullpunkt der$x$−$y$-埃本奥斯格亨登·哈布斯特拉伦威尔德。尤·贝蒂是安扎尔·迪塞Primzahlen unterhalb$t$für$t\to公司>\infty$渐近比例顺序格罗斯·温克尔斯去世，杰梅森einer auf die betweende Form（位于防护形式之间）盖格伦德·克莱恩·凯莱申·凯莱申（gegründeten Klein-Cayleyschen）Massbestimmung公司。