空图是树吗？

Question

这是一个无聊的技术问题，是我在为Sage做贡献时偶然发现的。我仍然希望听到一个建设性的答案，希望这个问题不会结束。

问题如下。

空图$E$有多少生成树？

根据Sage的说法，它有1，而Mathematica声称$\tau（E）=0.$现在$E$的唯一子图是$E$，因此这个问题可以重新表述为

$E$是一棵树吗？

一个特征表示树是具有$n$个顶点和$n-1$个边的连通图，这意味着$E$不是树。然而，如果我们将树定义为连接的非循环图，那么$E$显然是树。

就基尔霍夫而言，任何值都可以，因为$$\rm{adj}（\mathcal{L}（E））=\mathcali{L}（E）=k\mathcal{L}[E）$$代表任何$k$

因此，我想知道的是

将$E$定义为（不是）树有更广泛的原因吗？

Answer 1

在一篇论文中“null-graph是一个毫无意义的概念吗？“骚扰和阅读检查原因为空图形分配某些属性。他们观察到，从枚举的角度来看，将空图视为森林而不是树似乎很方便。

Answer 2

整个讨论似乎转移到了是否应该将空图（或空空间）视为“连通的”。安吉洛和我都认为学校不应该这样，但这应该得到解释，因为一些传统的“连接”定义显然允许将空白空间连接起来。

一般抽象上下文如下。让加元$是一个具有有限余积的范畴，对于任意两个对象具有如下性质美元$,十亿美元$（表示其副积a+b美元$)，正则函子

$$C/a\次C/b\到C/（a+b）：（x\到a，y\到b）\映射到（x+y\到a+b$$

是等价的。这样一个类别据说是广泛的拓扑空间的范畴是广泛的，图的范畴是广的，任何拓扑都是广的。还有很多其他的例子。

现在，说一个物体美元$在一个广泛的类别中是有联系的如果函子

$$\hom（a，-）：C\设置$$

保留二元副积（因此可以证明它保留有限的副积）。这是一个基本定义；请参阅n实验室进行深入讨论。在这个定义下，空空间（空图形等），即初始对象，是不相连的。

一个等价的定义是$c美元$在以下情况下连接：$c\cong a+b$，正好是其中之一a，b美元$有人居住。如果坚持空空间应该连接，那么将单词“exactly”改为“至多”，而不是说规范映射$（c，x）+（c，y）到（c，x+y）$是一种同构，比如说它只是猜测。然而，通过使用上面的定义，大多数结果会更清晰地显示出来，这将取消空集的资格。

比较素理想的概念：在p.i.d的理想格中工作。R美元$哪里美元\leq$由逆包含、理想的副积或联合给出a，b美元$是ab美元$，初始理想是R美元$，我们说的是理想美元$是首要的如果$p\neq R$和$p\leq ab（美元）$暗示$p\leq美元$或$p\leq b美元$.条件$p\neq R$被认为是素数定义的基础。如果没有它，我们就不再有整数到素因子的唯一分解（比较一下，根据我们的定义，每个图都是唯一的连通图的副产品，但如果认为空图是连通的，情况就不是这样了）。另请参阅nLab讨论中的众多示例“太简单而不简单”; 例如，$1$太简单而不能成为素数，零模被认为太简单而无法成为简单的模。

在我们对连通性的定义下，每个非循环图（森林）都是唯一的非循环连通图（即树）的副产品。这包括空旷的森林所以森林可以是空的，但树不能。

Answer 3

我不认为空图是树或连通图，因为我更喜欢以下连通性的定义：一个图$G$是连通的，如果它是一个图族的不相交并集，那么该族中的一个图就是$G$本身。空集不能满足这一点，因为它是空族的不相交并集。

分类理论版本将连通性定义为，每当$G$表示为副产品时，其中一个副产品注入必须是同构。这不如托德·特林布尔（Todd Trimble）的答案中的“Hom保留副产品”（Hom preserves coproducts）的定义优雅，但我认为它更接近于普通的、非类别的理论直觉。

同样的定义风格（在我看来是正确的）处理了1是否为素数的问题。定义一个正整数$p$为素数iff，无论何时将其表示为乘积，其中一个因素就是$p$本身。这个定义使得1不是素数，因为它是空族的乘积。

Answer 4

如果某个连接的组件的数量等于1，则表示该组件已连接。

尽管如此，在我的一篇论文中，我有时觉得有必要说一个对象$X$要么是连接的，要么是空的。我最终决定使用的语言是：$$\text{``让$X$成为连接的可能为空的…'}$$

Answer 5

在Bourbaki的术语中，空图是一棵树。四、 附件3。

Answer 6

我查了莱因哈德·迪斯特尔的教科书图论第2页

顺序为0或1的图被称为琐碎的有时，例如为了开始归纳，平凡的图可以有用；在其他时候，它们形成了愚蠢的反例，并成为讨厌的人。为了避免文本中出现非隐私条件，我们应主要处理平凡图，尤其是空图，毫不理睬地。

仅限非空的图被定义为连通的。（第9页）

Answer 7

空结构是“断开的”，树的定义是“连接的非循环图”。

例如，要从一个连通物种的生成序列$G（t）$得到其结构集$F。零度时的$1$是空结构。

Answer 8

Kirchoff定理的正确公式如下：不需要图$G$上的任何连通性假设，并不会导致图为空时的错误期望。

设$\Delta\colon L^2（G）到L^2，G是有限图$G$上的拉普拉斯算子。那么$\ker（\Delta）$是$G$；上局部常量函数的空间；它的维数是$G$的连接组件数。设$L^2_0（G）$是$\ker（\Delta）$的正交，$\ker（\Delta）$是$\Delta$下稳定的子空间。然后$\det（\Delta|L^2_0（G））$是$G$中最大森林数。

Answer 9

我认为这取决于你想如何使用它。我会说，有时空图最好被视为一棵树，甚至根树，但有时也不是。即使是单顶点树也有点奇怪，它是唯一具有零度顶点的树。

加泰罗尼亚数字计算了许多种树木。在一个有序二叉树每个节点最多可以在左侧和/或右侧有两个子节点。如果我们让$C_n$是具有$n$个节点的此类数量，那么可以排除空树并说

• C_1美元=1$

• $C_{n+1}=C_n+C_n+\sum_{i=1}^{n-1}C_iC_{n-i}$

只有一个孩子的情况下的前两个术语。但更好的做法是将左孩子和右孩子想象成他们自己是二叉树，二者都存在，但可能是一个或两个空树。

• $C_0=1$

• $C_{n+1}=\sum_0^nC_iC_{n-i}$。

我认为第二种方法更好。特别是对于三叉树的类似情况。

A类全序二叉树同上，只是节点可能有$0$或$2$子节点（被认为是节点）。有$n$个节点的OBT（包括空树）和有$n+1$个叶节点的FOBT（不包括空树）之间有一个自然的双射。在一个方向上为每个叶节点指定两个子节点，在另一个方向删除所有叶节点。

因此，在这里，我们将$C_n$解释为具有$n+1$叶节点的FOBT数，而不必费心将空树视为FOBT。

给定一个非关联乘积，表达式$x_1\cdot x_2\cdot x _k$需要使用括号进行计算。我们可以使用FOBT，其中$k-1$个非叶节点对应乘法，$k$个叶节点对应变量。然后$C_0$计算“product”$x_1.$中的单顶点树。现在似乎没有理由计算空树。当然，我们确实喜欢空产品，但这并不特别重要。

如果我们想有一个没有特别提到“根”的有根树的定义，那么我们可以说有根树正是有限偏序$（S，\prec）$，这样

1. 对于S$中的所有$u\，集合$\｛x\ mid x\ precq u\｝$完全由$\prec排序$
2. 对于所有$u，S$中的v都有一个共同的下限。

如果我们能逃脱惩罚，那么空订单就是订单。

Answer 10

上面的一些评论从同源性的角度讨论了这个问题。我想详述一下这些。

您可以将树视为一个抽象的、维度最多为1的简单复合体，它具有微不足道的简化同源性。请注意，我们可能希望将顶点作为其方面的简单复数包含在树中（因此“维数最多为1”比“维数正好为1”更可取）。我把简化同调看作是同调理论，我们把空集当作一个面。

因此，从这个角度来看，这取决于您正在考虑哪个空图$\增量=\{\emptyset\}$，链复合体在-1度上是非平凡的，产生非平凡的$\波浪线{高}_{-1}$.英寸$\Gamma=\空集$，链复合体和同调都处处为0。因此，如果我们要遵循这一点，那么考虑一下是有意义的$\伽马射线$是一棵树，但是美元\ Delta$不是。

采用这种观点的参考文献是Ehrenborg和Hetyei的论文独立复合体的拓扑结构，它考虑美元\ Delta$作为一个$(-1)$-量纲球体和$\伽马射线$作为一个$(-1)$-一维单纯形。