黎曼zeta的几何/物理/概率解释（$n>1$）？

Question

在大于1的正整数处，对黎曼-泽塔函数值的物理、几何或概率解释是什么？

我找到了一些例子：

1） 在MO-Q111339号在Tamagawa数上，GH表示

$$\operatorname{vol}（\mathrm{SL}_2（\mathbb{R}）/\mathrm{SL}_2（\mathbb{Z}））=\zeta（2）$$

2） 在“二维量子规范理论”中，爱德华·维滕推导出

$$\operatorname{vol}（\mathcal M）=\frac{2}{（\sqrt{2}\：\pi）^{2g-2}}\zeta（2g-2）$$

从模空间的体积形式$\mathcal M美元$仪表组上的扁平接头($G=SU（2）$)紧致二维流形上的丛，亏格的Riemann曲面$克$、和，对于亏格的可定向曲面的连通和$克$具有千美元$克莱因瓶和美元$射影平面的副本$RP^2$，他推导

$$\operatorname{vol}（\mathcal M）=\frac{2（1-2^{1-（2g-2+2k+r）}）}{（\sqrt{2}\：\pi）^{2g-2+2k+r}}\zeta（2g-2+2k+r）$$

3） 在维基百科上斯蒂芬·博尔兹曼定律，黑体辐照度（单位时间内黑体单位表面积辐射的总能量）为

$$j^｛*｝=2π\：3！\zeta（4）\：\分形{（kT）^4}{c^2h^3}$$

（英寸n美元$-维度空间，它与$n！\zeta（n+1）$、和普朗克定律因为三维黑体内部的电磁能量密度有一个额外的因子4美元/c$.)

4） 在《费曼的阳光数》中，戴维·布劳德赫斯特给出了黑体在温度下单位表面积的速率T美元$将光子发射为

$$2\pi\：2！\zeta（3）\：\分形{（kT）^3}{c^2h^3}$$

（而且体内光子的密度有一个额外的因素4美元/c$.)

动机：我的动机不仅是出于一般的兴趣，而且也是出于MO-Q111165号和MO-Q111770.邻接矩阵的行列式（体积），因此循环指数多项式统计物理中出现对称群的（CIP），例如Potts q色场理论与标度随机簇模型，CIPS可以“重标”以获得完备贝尔多项式(OEIS-A036040公司)与累积量展开多项式(OEIS-A127671公司)，两者都与统计相关性及其图表有关（参见OEIS-A036040公司).

5） $p_n（z）$属于MO-Q111165号似乎与Chern类 $c_k（V）$关于线性丛的直接（无限）和$：\：\：：\：V=L_1\oplus L_2\oplus\cdots\：$:

使用$x_{i}=c_1（L_i）$第一批Chern班级，

$$p_k（z）=k！\：c_{k}（V）=k！\：e_{k}（x{1}，x{2}，\ldot）$$

哪里$e_k（_k）$是初等对称多项式. The$\泽塔（n）$可以确定为第一个Chern类的幂和，然后，例如，

$$3!\:c3（V）=p3（z）=（z+\gamma）^3-3\zeta（2）$$ $$4!\:c4（V）=p_4（z）=（z+\gamma）^4-6\zeta（2）$$

更新（2012年11月16日）：刚刚在R.Lu的论文中找到了序列，”正则等变Euler类和Gamma函数”，其中讨论了与Chern和Pontrjagin类的关系。

另请参阅“伽马-格努斯积分升力“和”动力Thom同构“杰克·莫拉瓦和”镜像对称的霍奇理论”L.Katzarkov、M.Kontsevich和T.Pantev著。

Answer 1

Bourgade、Fujita和Yor的节目Cauchy随机变量的Zeta函数对于偶数值，$\chi_4$L函数用于奇数值。出于某种原因，它们总是成双出现。

此证明简化为路易吉·佩斯对于$\zeta（2）$。柯西随机变量为$$p_X（X）=\压裂{2}{1+X^2}$$

当我们看两个这样的随机变量$Y=X/X'$的比值时。$$p_Y（Y）=压裂{4}{\pi^2}\frac{\logy}{Y^2-1}$$然后观察$\mathbb{P}（Y\geq1）=\mathbb2}（X<X'）=\frac{1}{2}$。所以他们计算$$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{（2k+1）^2}=\int_0^1\frac{-\log y}{1-y^2}=\mathbb{P}（y\geq1）=\frac}\pi^2}{8}$$

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我通过博客了解到二维布朗运动至少对于案例$\zeta（2）$。

假设$f:\mathbb{C}\to\mathbb2{C}$是单位圆盘邻域上的解析函数。这个
函数将单元磁盘映射到具有边界的位置。二维布朗运动开始于$f（0）$花费平均时间$$\mathbb{E}[\tau]=\sum_{k\geq1}|a_k|^2$$退出域$f（\mathbb{D}）$，其中$f（z）=\sum_{k\geq0}a_kz^k$和$\tau=\inf\{t>0:B_t\in\partial f（\mathbb{D}）\}$是边界的到达时间。

通过考虑条带$\{x+iy:|x|<\pi/2\}$上的布朗运动，并计算左右两侧，可以得到$\zeta（2）$。布朗运动的退出时间是$\tau=\pi^2/4$和$$f（z）=\log\left（\frac{1-z}{1+z}\right）=-2\left。

这种风格可以追溯到arXiv的文章格雷格·马科斯基.

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另请参阅Noam Elkies撰写的这篇论文，他将他们与交替排列。可以显示：

\开始{eqnarray*}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{（2k+1）^2}&=&\sum_{k=0.}^\infty\int_0^1\int_0^1（xy）^{2k}dx\，天\\\\&=&\int_0^1\int_0^1 \left（\sum_{k=0}^\infty（xy）^{2k}\right）dx\，dy=\int_0 ^1\int _0 ^1 \frac{dx\\结束｛eqnarray*｝然后他做了奇怪的事Calabi替代:\[x=\frac{\sinu}{\cosv}，y=\frac{\sinv}{\ cosu}

并恢复一个微积分恒等式：\[\int_0^1\int_0^1\frac{dx\，dy}{1-（xy）^2}=\int_{u+v<\pi/2}1\，du\，dv=\frac{\pi^2}{8}\]

在艾尔基斯的论文中，这一证明被扩展到了更高的维度。

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然后你可以研究变换$T:L^2[0，\pi/2]\到L^2[0，\pi/2]$，三角形的特征函数。

\[（Tf）（x）=\int_0^{\pi/2-x}f（t）\，dt\]

并询问$Tf=\lambda f$的时间。该算子的谱为

\[\lambda=\frac{1}{4k+1}，f\lambda（x）=cos（4k+1）u\]

然后取$T^n$的轨迹，并将其与多面体的体积进行比较：

\开始{eqnarray}\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{（4k+1）^k}&=&\sum_\lambda\langle f|T^n|f\rangle\\\\&=&\mathrm{Vol}\bigg（\{0<x_1>x_2<x_3>\dots<x{n-1}>x_n>\frac{pi}{2}\}\big）\end{eqnarray}这个多面体的体积可以用交替排列来表示。

我在斯坦利的交替排列调查也出现在Chebikin的一些论文中驻车功能，这似乎是一个示例链式多面体.

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还有什么其他的L函数可以接受像$L（k）\in\mathbb{Q}\pi^k$这样的整洁值，其中$k\in\mathbb{Z}$？可能需要一个代数扩展$K/\mathbb{Q}$。

Answer 2

这里是ζ（2）的物理解释：假设你在一条长路上被堵住了交通，你就站在你的车前面。再假设你后面的所有汽车都在向你鸣笛。然后你听到的噪音比第一辆车的喇叭声大ζ（2）倍。当然，也有类似的视觉解释，也许更真实，使用一长串圣诞灯的照明。

Answer 3

以下是GH关于Tamagawa数的答案的概括：

参考Paul Garett的注释：http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/卷.pdf

$$\operatorname{vol}（SL（n，\mathbb{Z}）\反斜杠SL（n，\mathbb{R}））=\zeta（2）\ zeta（3）\ zeda（4）\ zeta（5）\ cdots\zeta（n）$$

$$\operatorname{vol}（Sp（n，\mathbb{Z}）\反斜杠Sp（n，\mathbb{R}））=\zeta（2）\ zeta（4）\ zeda（6）\ zeta\cdots\zeta（2n）$$

这类似于数字域和全局函数域。在这里，您必须用Dedekind zeta或Hasse-Weil zeta函数替换Riemann zeta，并且还会显示根数。

Answer 4

这与Riemann zeta函数无关，而是与数值字段$K$的zeta函数有关。但我发现这出乎意料。设$\zeta_K（s）=\sum_{\mathfrak a\ne0}N\mathfrak a^{-s}$是常用的zeta函数，其中我们对所有非零积分理想求和，并且设$\zeta_K^{\text{prin}}（s）=\sum_}（\alpha）\ne0{N\alpha^{-s{$是相同的，除了现在我们只对其求和主要理想那么，$K$上的椭圆曲线具有全局最小Weierstrass方程的概率更无阶等于$$\frac{\zeta_K^{\text{prin}}（10）}{\zeta_K（10）{，其中概率是通过在适当的框中取椭圆曲线$y^2=x^3+Ax+B$和$a$来计算的。请参见：

• 具有全局极小Weierstrass的椭圆曲线的密度方程式，Ebru Bekyel，数论杂志，音量109,第1期，2004年11月，第41–58页doi:10.1016/j.jnt.2004.06.003

Answer 5

我写了一篇关于这个主题的文章，标题是几何和拓扑中的Zeta值三年前。我对文章中观点的思考已经发生了变化，尤其是，我相当确信问题0.1-0.4并不是富有成效的调查。尽管如此，其中的材料对我来说还是很吸引人。

Answer 6

你要求一个几何的解释。设$\gamma_\pm（a）$为所描述的两个几何形状

通过超越方程$e^{-y}\pm~e^{-大x^a}=1$。那么，$~a=\dfrac1n~$的面积是

$$\开始{align}A_+&=-\int_0^\infty\ln\Big（1-e^{-\large x^A}\Big）dx=\Gamma（1+n）\cdot\zeta（1+n）\\A_-&=-\int_0^\infty\ln\Big（1+e^｛-\larg x^A｝\Big）dx=\Gamma（1+n）\cdot\zeta（1+n）\cdot（1-2^｛-n｝）。\结束{对齐}$$

由于多项式的曲线，例如圆$（x^2+y^2=r^2）$、椭圆和双曲线

$\bigg（\ dfrac xa\ bigg）^2\pm\ biggs（\ dfras yb\ big）^2=1$，超椭圆$\bigg（\dfrac xa\big）^n+\biggs（\dfras yb\bigg）^m=1$等，已被研究

几个世纪以来，通过询问这些属性来扩展这一思路似乎是很自然的

属于指数的个，例如$a^{\large x^n}\pm b^{\lorge y^m}=1$。

Answer 7

提示：A字面意思放大YouTube上Basel问题的几何演示是视频

这个令人惊讶的方程背后惊人的几何学作者：3Blue1Brown

不久前上传的。它需要一点物理，一点数学和许多这一著名结果与欧拉的证明完全不同。我还认为它在教学上很有价值，可以在许多课堂上进行展示。

Answer 8

详细阐述Nash的评论:

Oliver的特例齐普夫定律是吗？这导致了Zipf–Mandelbrot定律其概率质量函数为$$f（k；N，1，s）=\displaystyle\frac｛\frac｛1｝｛（k+1）^s｝｝｛\sum_｛i=1｝^｛N｝\frac｛1｝｛（i+1）^s｝｝$$，然后返回到$\mathrm｛vol｝（\mathcal M）$，用于克莱因瓶和粒子统计，通过$$（1-2^｛1-s｝）\zeta（s）=\sum_｛N=0｝^｛infty｝\frac｛1｝｛2^｛N+1｝｝\sum_｛k=0｝^｛N｝（-1）^k\binom｛N｝｛k｝\frac｛1｝｛（k+1）^s｝$$$=\eta（s）=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\exp（x）+1}\frac{x^{s-1}{（s-1）！}dx$$

其中$\eta（s）$是Dirichlet eta函数Klein瓶流形似乎与费米子和费米-迪拉克统计（适当莫比乌斯扭转)而可定向黎曼流形似乎与玻色子和玻色-爱因斯坦统计有关。

还有，阿兰·古特在“关于zeta分布的一些评论“用概率质量函数定义随机变量$U$（选择您最喜欢的$\sigma=2,3，…$）

$$P（U_\sigma）=\frac{1}{\zeta（\sigma）n^\sigma}$$

并说，“主要的一点是，对于$\sigma>1$，可以查看标准化的zeta函数$\varphi_{\sigma}（t）=\frac{\zeta（\sigma\：+\：i\：t））}{\zeta（\sigma）}$作为复合泊松分布的特征函数。"

他展示了分布的矩和累积量（与OEIS相关A036040型和A127671号)作为$\zeta（\sigma）$的函数给出，其导数与von Mangoldt和Moebius函数有关，并重新推导（并扩展）了Selberg的恒等式。

在切线上，zeta值可用于转换Gamma-genus：

使用$$R_z=z+\gamma+\sum_{n=1}^{\infty}（-1）^n\zeta（n+1）（d/dz）^n$$

然后$$\显示样式\exp（\omega\：R_z）\frac{e^{（t\：z）}}{t！}=\exp{（\omega\：d/dt$$

Answer 9

一个“随机”数是$n$-free的概率（AKA没有任何整数$b$，因此$b^n$除以它）由$1/\zeta（n）给出$

Answer 10

配分函数$Z（T）$[的primon气体]由Riemann zeta函数给出：

$${\显示样式Z（T）：=\sum_{n=1}^{\infty}\exp\left（{\frac{-E_{n}}{k_{B} T型}}\右）=\sum_{n=1}^{infty}\exp\left（{\frac{-E{0}\log-n}{k_{B} T型}}\右）=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}=\zeta（s）}$$其中$s=E_0/k_BT$，其中$k_B$是波尔兹曼常数，$T$是绝对温度。

zeta函数在$s=1$时的散度对应于哈格多恩温度$T_H=E_0/k_B$时配分函数的散度。

所以选择你的温度，单位是$T_H$。。。

Answer 11

这与早期弦理论中著名的Veneziano振幅有关（参见。科洛登科，旧威尼斯振幅的新弦)通过Eulerβ函数积分的阶乘

$$B（s，\alpha）=\左。\压裂｛（s-1）！（\alpha-1）！｝｛（s+\alpha-1）！｝x^｛s+\alpha-1｝\right | _｛x=1｝=\int_0^x t^｛s-1｝\；（x-t）^{\alpha-1}\；dt{x=1}$$

这可以转化为分数微积分的核心Riemann-Liouville分数积分导数（解析续）

$$D_x^{-s}x^{\alpha-1}\Big|_{x=1}=\左。\int_0^x\分形{t^{s-1}}{（s-1）！}\；（x-t）^{\alpha-1}\；dt\right|_{x=1}=\左。\压裂{（\alpha-1）！}{（s+\alpha-1}）！}x^{s+\alpha-1}\right|_{x=1}\$$

可以用无穷小生成器来表示

$$R_x=-\log（x）+\psi（1+xD_x）=-（\log；（xD_x）^n\$$

合并$\泽塔（n>1）$使用众所周知的公式计算digamma（或Psi）函数美元\psi（\beta）$具有$\gamma=-\frac{d\beta！}{d\beta}|_{\beta=0}=\psi（1）$，Euler-Mascheroni常数，如

$$D_x^{-s}x^{\alpha-1}=e^{-sR_x}x^}\alpha-1}\$$

$$$$ $$$$为了便于参考，本文中，Veneziano的4粒子散射振幅与

$$A（s，t，u）=V$$

哪里$V（s，t）=B（-\alpha（s，-\alfa（t））$其中beta的参数是Regge轨迹。

Answer 12

我知道我来晚了，但有几个人提到了不同的巴塞尔问题解决方案步伐和卡拉比这些解决方案，以及另一个扎吉尔和孔采维奇它们都有一些通用版本，这些版本导致了$\zeta（2k）的不同概率观点有关详细信息，我参考了我的出版物：https://www.ams.org/journals/qam/2018-76-03/S0033-569X-2018-01499-3/或https://arxiv.org/abs/1710.03637.

首先，Pace考虑了i.i.d.非负Cauchy随机变量$X，Y$及其商$Z=X/Y$。结果表明$Z$具有密度函数：

$$f_Z（Z）=\frac{4}{\pi^2}\frac{\log（Z）}{Z^2-1}，\quad Z>0.$$因此，$$\frac{\pi^2}{4}=\int_{0}^{\infty}\frac{\log$$\frac{\pi^2}{8}=\int_{0}^{1}\frac{\log（z）}{z^2-1}\dz.$$将右侧被积函数转换为几何级数，并使用单调收敛定理交换和和和和与积分，我们得到$$\frac{\pi^2}{8}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{（2n+1）^2}=\frac{3}{4}\zeta（2）$$

佩斯的解决方案是通用的。它导致

解释1:通过考虑$k$i.i.d.非负Cauchy随机变量$X_1，\dots，X_k$，并对商$Z=X_1/\dots/X_k.$的密度函数进行积分，得到总和$$S（k）=\sum_{n\geq0}\frac{（-1）^{nk}}{（2n+1）^k}，\quad k\in\mathbb{n}，$$^{2k}-1}{2^{2k}}\泽塔（2k）$$

通过反复使用部分分数和Fubini定理，我们可以得到$f_{Z}（Z）的密度函数$

解释1将产生$$f_{Z}（Z）=\begin{cases}\left}{Z^2-（-1）^k}&{k\text{奇数}}\end{cases}，\quad Z>0$$，其中$B_k$和$E_k$是第$k$个贝努利数和欧拉数，分别。

复制Pace在$\int_{0}^{\infty}f（z）\dz$上的步骤，即分割积分区域并使用几何级数参数，我们可以恢复$s（k）$

解释1还允许我们求和$$S（k，a）=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{（-1）^{nk}}{（an+1）^k}，\quad a>1，\quad\frac{1}{a}\notin\mathbb{n}.$$特别是，我们考虑了独立随机变量$X_1，$具有密度函数$$f_{X_1}（X_1）=\frac{a}{\pi}\sin\left（\frac{\pi{a}\right）\frac{1}{X_1^a+1}，\quad X_1\geq0，$$和$X_2，\dots，X_k$都具有密度函数$f_{X_i}{X_i^{1-2/a}}{X_i ^2+1}，\quad X_i\geq 0.$$通过对$Z=X_1/（X_2\dots X_k）^{2/a}的密度函数进行积分，我们可以得到$S（k，a）$复制Pace的$\int_{0}^{\infty}f（z）\dz$参数可以恢复$s（k，a）$

在先前的文献中，布尔加德,葛田、和约克以与此处稍有不同的方式评估$S（k，a）$（参见https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ecp/1465224952)，关键在于积分符号下的微分。

第二，卡拉比用两种方法计算二重积分$$\int_{0}^{1}\int_}0}^}1}\frac{1}{1-x^2y^2}\dx\dy$$。他用几何级数参数得到$S（2）$，然后使用变量$$x=\frac{\sin（u）}{\cos（v）}，\quad y=\frac{\sin。该变换将$（0,1）^2$微分映射到底高均为$\pi/2.$的开放等腰三角形。因此，$S（2）$在几何上是该三角形$\pi^2/8的面积，从而解决了巴塞尔问题。这一点的推广是通过几何级数自变量找到积分$$\int_{（0,1）^k}\frac{1}{1-（-1）^kx_1^2｝\dx_1\dots\dx_k，$$，一方面恰好等于$S（k）$。另一方面，Calabi变量$$x_i=\frac{\sin（u_i）}{\cos（u_{i+1}）}，\quad\dots\quad，x_k=\frac{\sin$$\Delta^{k}=\lbrace（u_1，\dots，u_k）\in\mathbb{R}^k:u_i+u_{i+1}，u_k+u_1<\pi/2，\quad u_1、\dots、u_k>0，\quade 1\leq i\leq k-1\rbrace。$$因此$S（k）=\text{Volume}（Delta^{k}）。$重新调整$u_i=\frac{\pi}{2}v_i，$，并考虑$k$i.i.d.均匀随机变量$v_1，\dots，v_k\in（0,1），得到$

解释2:$$S（k）=\左（\frac{\pi}{2}\right）^k\text{Pr}\left（V_1+V_2<1，\dots V_{k-1}+V_k<1，V_k+V_1<1\right）.$$也就是说，$S（k）$与$k$i.i.d.统一随机变量$V_1，\dots，V_k$在$（0,1）$中具有的概率成正比循环成对连续和低于1美元$

在先前的文献中，Beukers、Calabi、，和科尔克将$\Delta^k$分解为全等金字塔（请参见https://pdfs.semanticschoolr.org/35be/01e63c0bfd32b82c97d58ccc9c35471c3617.pdf)，一些用户已经提到艾尔基斯和西拉加泽对$\Delta^k$的特征函数进行频谱分析（参见(https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/news_old/Elkies.pdf和http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download？doi=10.1.1.749.9234&rep=rep1&type=pdf). $\Delta ^k$是一个链状多面体赤柱独立解释（参见http://dedekind.mit.edu/~rstan/pubs/pubfiles/66.pdf).

在我的论文中，上述均匀随机变量的概率导出了一个庞大的公式，它不以任何方式涉及$B_k$或$E_k$。相反，这是对$V_1，\dots，V_k.$施加不同条件的结果。有关详细信息，请参阅我的论文。

解释2的结果是$$S（k）=\left（\frac｛\pi｝｛4｝\right）^k+\left（\frac｛\pi｝｛4｝\right压裂｛1｝｛i+\sum_｛j=1｝^｛i｝\alpha_j｝，$$其中$[m]：=\lbrace 1、\dots、m\rbrace$和$$\alpha_j=2-\delta（k，2）-\sum_{m=1}^{j-1}\delta克罗内克-德尔塔函数特别是，内部总和将覆盖所有元组$（r_1，\点，r_n）\单位[k]^n$有循环成对非连续条目。

最后，扎吉尔和孔采维奇通过计算$$\int_{0}^{1}\int_}^{1}\frac{1}{\sqrt{xy}（1-xy）}.$$再现Calabi的$\zeta（2）$证明一方面，这个积分是$4S（2）但另一方面，变量$$x=\frac{xi^2（\eta^2+1）}{xi^2+1}，\quady=\frac}\eta|2（\xi^2+1$$\int_{0}^{\infty}\int_}0}^_1/\xi}\frac{4}{（\xi^2+1）（\eta^2+1$$

一般版本包括评估

$$I=\int_{（0,1）^k}\frac{1}{\sqrt{x_1\dotsx_k}（1-x_1\Dotsx_k）}\dx_1\pots\dx_k，$$等于$2^k S（k）.$但是广义变换

$$x_i=\frac{\xi_i^2（\xi_{i+1}^2+1）}{（\xi{i}^2+1）}，\quad\dots\quad，x_k=\fracc{\xi_k^2（\ xi_{1}^2+1）}}，$$，并定义$\xi_1，\dots，\xi_k$为$k$i.i.d.非负Cauchy随机变量，结果是

解释3$$S（k）=\左（\frac{\pi}{2}\right）^k\text{Pr}\left（\Xi_1\Xi_2<1，\dots\Xi_{k-1}\Xi_ k<1，\ Xi_k\Xi_3<1\right）.$$显然，$S（k）$与$k$i.i.d.非负Cauchy随机变量$\Xi_1，\dots，\Xi_k$具有小于$1的循环成对连续乘积的概率成正比$

解释3的结果与解释2的结果相同。

Answer 13

$$\zeta（3）=\int_0^1\int_0^1\int_0 ^1\frac{1}{1-xyz}dxdydz $$是阿普里常数在计算电子的旋磁比时发现，根据维基百科条目：

的倒数$\泽塔（3）$是随机选择的任意三个正整数成为相对素数的概率（即当N趋于无穷大时，随机选择的三个小于N的正整数成为比较素数的可能性接近该值）。

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Apery常数也出现在“Laplacians的决定因素，透镜空间上的Ray-Singer扭转和Charles的Riemann zeta函数纳什和D.J.O’Connor在与Laplacians相关的离散模空间上的体积元素表达式中对某些透镜空间中的Ray-Singer扭转进行了评估。

Answer 14

发件人粒子碰撞中发现的奇怪数字作者：K.Hartnett

1994年，克雷默和英国开放大学物理学家大卫·布劳德赫斯特首次将周期和振幅结合在一起，随后于1995年发表了一篇论文。这项工作促使数学家推测，所有振幅都是混合Tate动机的周期——一种以哈佛大学名誉教授John Tate命名的特殊动机，其中所有周期都是数论中最有影响力的结构之一——黎曼zeta函数的多值。在一个正负电子对进入，一个反μ子对出来的情况下，振幅的主要部分是Riemann-zeta函数在三点处计算。

Answer 15

序列$a（2k）=-2（2i\pi）^{-2k}\zeta（2k{-1}2$是序列的卷积逆$\frac1{（k+1）！}，k\ge 0$

Answer 16

在整数自变量极限下计算Riemann zeta函数的函数方程（反射公式）的对数导数，给出了zeta在平凡零点处的导数与奇数（>1）处的值之间的耦合，将它们与奇双阶乘和Catalan数联系起来；明确地，

$$（-1）^n\；2^｛n+1｝\pi ^｛2n｝\；\压裂{\zeta'（-2n）}{\zeta（2n+1）}=\frac{（2n）！}{2^n}=n！\；（2n-1）！！=n！\；（n+1）！\；\frac{Cat（n+1）}{2^n}$$

（第一个等式在MathWorld中——等式32——但没有推导）

哪里

$（2n-1）！！=\压裂{（2n）！}{2^n\；n！}=Cat（n+1）\；\裂缝{（n+1）！}{2^n}=A001147（n）$是奇双阶乘吗

$[（2\cdot 0-1）！！，\；（2\cdot 1-1）$

=A0001147号

和

$Cat（n+1）=\压裂{（2n）！}{n！\；（n+1$是加泰罗尼亚数字吗

$（类别（0），\；类别（1），\；\点）=（0，1，1，2，5，14，42，132$

= (0,A000108号).

双因式和加泰罗尼亚数与无数组合结构有关，例如圆和多边形的剖分、超四面体/n-单形的完美匹配、曲面上的胖图/带状图以及二叉树，并且在特殊函数的李群/代数理论的分析中起着重要作用，微分方程、经典概率、量子概率和自由概率。

一维简谐振子（SHO）速度或动量相关函数的级数展开式为

$$\sqrt{1-x^2}=1-\压裂{x^2{2！}-3\压裂{x^4}{4！}-45\压裂{x^6}{6！}-1575\压裂{x28}{8！}-99255\压裂{x10}}{10！}-9823275\压裂}x^12}{12！}-\ldot$$

其无符号系数（忽略零）为$n\geq 2个$,

$c（n）=-2^{2n+1}\；\π^{4n-2}\；\分形{1}{（n-1）！\；n！}\=$A079484号（n-1）

和，用于第1季度$,

$$c（n）=（2n-3）！！\；（2n-1）=（-1）^n 4；\pi^{2n}\；\frac｛\zeta’（-2n）｝｛\zeta（2n+1）｝\；类别（n）$$

$$=（-1）^n\；2^｛n+1｝\pi ^｛2n｝\；\裂缝{\zeta'（-2n）}{\zeta（2n+1）}\；\；\裂缝{（2n-3）！！}{n！}=A079484（n-1）$$

Maupertuis在经典力学中的简化作用是

$$S=\ int\；\平方码{2m\；（E-U（x））}\；dx-E \；t=\int\；p（x）\；dx-E \；t、$$

哪里百万美元$是以总能量运动的粒子的质量E美元$保守势美元（x）$有动力$p（x）=m\cdot v（x）$在位置x美元$. (dx美元$被视为线元素。）

对于具有弹簧常数的SHO千美元$和颗粒平衡时的最大位移$x_0美元$,

$$S=\压裂{1}{2}\；\平方码{m\；k}\；x0\；[\；x\sqrt{1-（\frac{x}{x_0}）^2}+x_0\；\arcsin（\frac{x}{x_0{）+C\；]-\frac}{1}{2}k\；x_0^2；t、$$

和，用于$|x|<1$,

$$\frac{1}{2}[\；x\sqrt{1-x^2}+\arcsin（x）\；]$$

$$=（x-\压裂{x^3}{3！}-3\压裂{x^5}{5！}-45\压裂{x27}{7！}-1575\压裂{x^9}{9！}-99225\压裂{x11}}{11！}-\ldot）$$

$$=（x-\压裂{x^3}{6}-\压裂{x25}{40}-\裂缝{x^7}{112}-5\裂缝{x29}{1152}-7\裂缝{x11}}{2816}-\ldots）$$

具有与泰勒级数相同的系数$\sqrt{1-x^2}$，刚刚转移。

这些也是弧长系列的系数（mod符号）阿基米德螺线($r=a \；\θ$，以极坐标表示），

$$弧形\；长度=a\；\裂缝{1}{2}\；（θ；θ{1+θ^2}+sinh^{（-1）}（θ））$$

（编辑：2022年9月4日：美元$见第26页“形式群、Witt向量和自由概率“Friedrich和McKay在极限形状公式中$\欧米茄$关于普朗切雷尔测量的重新缩放的杨图——古代和19世纪的杰出人物的作品与当代研究人员的作品紧密相连。）

静止质量自由运动粒子的相对论拉格朗日百万美元$是

$$L=\int_{t_1}^{t_2}m_0c^2\；\sqrt{1-（\压裂{v}{c}）^2}\；日期$$

蒙哥马利猜想的zeta非平凡零点对相关的幂级数展开为

$$Cor=1-（\frac{\sin（x）}{x}）^2$$

$$=压裂{1}{3} x个^2-\压裂{2}{45}x^4+\压裂{1}{315}x^6-\压裂{2}{14175}x^8+\压裂{2}{467775}x^{10} -\压裂{4}｛42567525｝x^{12} +\cd个$$

$$=\sum_{n\geq1}\；（-1）^｛n+1｝\；\裂缝{2^{2n+1}}{（2（n+1））！}\；x^{2n}$$

$$=\sum_{n\geq1}\；\frac｛1｝｛4\；\pi^｛2（n+1）｝｝\；\裂缝{泽塔（2（n+1）+1）}{泽塔'（-2（n+1；x^｛2n｝$$