二阶逻辑中的范畴

Question

你好，

一个简单的基数论证表明，有完整的二阶理论不是绝对的（具有多个同构模型）。有人知道这种理论的具体例子吗？

提前谢谢你

Answer 1

我不会写下一个具体的例子（太多的工作），但这里是如何得到一个。使用具有常量符号0、一元函数符号$S$、二元谓词符号$\in$以及两个一元谓词符号$N$和$P$的词汇表（=language=signature）。我想考虑的结构看起来像这样（直到同构）：$N$定义的子集是自然数的集合，$0$为零，$S$为后继函数；$N$的补码是自然数的所有子集的集合$\mathcal P（N）$（其中$S$在那里以一些简单的方式定义，例如身份映射）$\$是自然数和集合之间的隶属关系；$P$是$N$补码的任意子集。（所有这些都可以用二阶逻辑来表示。）因此有$2^c$（其中$c$是连续统的基数）非同构的此类结构，每个$P$选择一个。设$F$是赋值给$\mathcal P（N）$的每个子集$P$的函数，通过哥德尔编号将相应结构的完整二阶理论视为一组自然数。因此，$F$将$\mathcal P（\mathcalP（N））$映射到$\matHCalP（N$）$。问题中提到的基数参数表示$F$不能是一对一的，但您需要一个明确的一对一的失败。所以，在一个更一般的公式中，问题是从显式函数$F:\mathcal P（X）\到X$（注意，一旦修复了Gödel编号，我的$F$实际上是显式的），到一对具有相同图像的显式元素。幸运的是，乔治·布洛斯（George Boolos）在《构建康托利反例》（J.Philosophical Logic 26（1997）237-239）一文中解决了这个问题。

Answer 2

你所要求的理论不可能是那个混凝土，因为：

1. 根据维克多·马雷克的一个旧结果，它与$ZFC$的公理一致，即每个可数结构（用可数词汇）是绝对的。看看这个FOM柱作为参考。

2. 在上面的FOM-post中，我推测Marek的结果可以推广到所有钻孔结构哈维·弗里德曼在本文中验证了这一推测FOM柱.

3. 在另一个FOM柱Solovay表明，只要二阶理论$T$既可公理化又完备，那么$T$就是绝对的，这与$ZFC$是一致的。另请参阅此其他相关FOM-post索洛维的。

Answer 3

必须有两个序数$\alpha$和$\beta$，它们对应的良序结构$\langle\alpha，\lt\rangle$和$\ langle\beta，\lt\ rangle$具有相同的完整的二阶理论，只是因为在一种可数语言中只有连续统的许多理论，但比这个多。

但也许这就是你所说的简单基数论证的意思，实际上，这个简单的论证似乎并没有产生具有相同二阶理论的特定序数。

因此，让我观察一下，几个大的基本假设可以使情况变得更加具体。

• 如果$0^\sharp$存在，那么$V$的每个不可数基数在$L$中都是一个有序诱导的基数，因此在$L$s中，$V$-基数（作为有序结构）都具有相同的二阶理论，但不是同构的。一般来说，任何$L$中的结构$M$的大小是一个不可分辨的顺序，在$L$中将有一个非范畴理论，因为如果$j:L\到L$是移动该不可分辨顺序的一个基本嵌入，那么$j（M）$将有相同的理论。

• 更一般地说，通过增加大基数假设，可以避免使用内部模型$L$。具体来说，如果$\kappa$是一个$1$-可扩展基数，那么对于某些$\lambda=j（\kappa）\gt\kappa=\text{cp}（j）$，存在一个基本的嵌入$j:V_{\kappo+1}\到V_{lambda+1}$。在这种情况下，域$\kappa$上的每个结构$M$，使用小于$\kappa$的语言，与$j（M）$具有相同的二阶理论，其域为$\lambda$，其基数严格大于$\kappa$。因此，这是一个基数$\kappa$，因此大小为$\kappa$的结构所实现的每一秒理论都是非范畴的，就您的问题而言，这似乎是一个显著的属性。

但我有一种感觉，尽管如此，您可能需要这些示例提供更多的具体信息。