我认为X美元$构造自千美元$我觉得总是很紧凑。任何措施$\亩$在千美元$有重心$c美元$，定义为最小值x美元$的平均值$d（x，y）^2$具有美元$采样自$\亩$.Borel系列测量千美元$弱-*拓扑中的Banach Alaoglu定理是紧致的，我的直觉是重心的位置相对于这个拓扑是连续的。（如果这种直觉是错误的，那么这篇文章的其余部分就不那么有趣了。）这与凸包不同，但作为一种可能的近似，它看起来很有趣。
严格凸壳中的任意点千美元$（不是它的闭包）是通过对有限列表中的点对进行一系列二进制操作来实现的。点的初始列表位于千美元$，然后是某些对x美元$和年美元$提出新观点$z（美元）$根据定义，$z（美元）$在远处美元$一路走来x美元$到美元$。此描述归纳了对初始点集的度量。例如，假设我们从$x_1、x_2、x_3、x_4\单位：K$，然后抓住要点y_1美元$那就是p_1美元$沿着测地线$x_1$到$x_2美元$和要点y_2美元$那就是$p_2美元$沿着测地线$x_3$到$x4美元$最后，重点$z（美元）$是q美元$一路走来y_1美元$到y_2美元$。原始点列表上的诱导度量是$qp_1[x_1]+q（1-p_1）[x_2]+（1-q）p_2[x_3]+（1-q）（1-p_2）[x_4]$这个量表有一个重心$c美元$我想知道有多远$c美元$可以来自$z（美元）$.如果X美元$恰好是一个向量空间，那么$c=z$，但总的来说，它们并不相等。
凸壳和重心中的点是相互概括的。从基本点列表开始$x_1，\ldots，x_n\单位：K$，有一个千美元$-用替换权重的ary运算千美元$点的重心。如果以加权树的模式重复这些操作$T（美元）$，然后计算生成一个点$z（美元）$可能位于凸面外壳中（如果$T（美元）$是二进制的），或者可以是重心（如果$T（美元）$是灌木），或者可以是介于两者之间的各种东西。现在假设$T（美元）$是一棵复杂的树。我们可以把它压扁成为灌木美元T_1$得出一个点$z_1$.然后我们可以用各种方式来展现$T_1美元$逐步接近$T=T_n$假设第一段，有界深度的树可以到达的点是一个紧集。我对$\text{CAT}（0）$空间来得出任何结论，但似乎有可能$z_k美元$接近终点$z=z_n$足够快以建立紧密度。或者，如果这种情况没有发生，那么这可能是反对凸包紧致性的证据。
（需要明确的是，这只是一个建议，而不是解决方案。）
这里是另一种表述提案的方式，不直接使用重心，尽管事实上重心集是紧凑的。
对于任何$0\le p\le 1美元$，有一个二进制操作$x\心型套装_p y$关于中的点$X美元$根据定义，$x\心型套装_p y$是重点吗$z（美元）$这样的话$d（x，z）=pd（x，y）$和$d（y，z）=（1-p）d（x，y）$.让$x_1，\ldot，x_n$是中的点列表千美元$，可能需要重复。然后每个字$w美元$在以下方面千美元$用这个符号表示的是一个点$z\以X表示$。我们也可以计算欧氏单纯形顶点中的相同单词$\增量{n-1}$.因此我们得到了一个连续映射$f_T:\增量{n-1}\到X$那只取决于树的结构$T（美元）$属于$w美元$.这两张不同树木的地图彼此相距多远？（有$（2n-3）$独特的树木。）如果你对距离有足够的控制，那么千美元$结构紧凑。更准确地说，希望找到词语空间的紧凑化，以便评估图不断扩展。
例如，如果$n=3$，我们可以定义三个点的三个树中心$x，y，z$，即$x\heartsuit_{1/3}（y\heartsuit_{1/2}z）$及其循环排列。在一个$\text｛CAT｝（0）$空间？例如，在与欧氏空间相对的树中，单位等边三角形的树中心最多相距1/3。
在我关于可能的反例的另一篇帖子的评论中，安东还要求提供参考。我找到了报纸Banach空间中的非膨胀收缩由Kopecká和Reich撰写。他们说，
定理2.10的这个证明在任何Hadamard空间中都同样适用，其中有限个点的闭凸包是紧的。因此，高原问题可以在这样的空间中解决。不幸的是，尚不知道哪些Hadamard空间具有此属性。然而，在[We，定理1.6]中显示，Plateau的问题可以在每个Hadamard空间中解决（无论它是否具有此属性）。"
他们的定理2.10是一个有趣的、更强大的性质，他们从Anton的性质中得出：每个紧集千美元$包含在紧凑的1-Lipschitz缩回空间中X美元$显然，这种收缩也是凸的，因此千美元$内部结构紧凑。此外，他们定理2.10的主题正是我的示例2，因此该示例不起作用。此外，Anton的属性在文献中已经有了一个名称，他们称之为CNEP，并且他们简化为以下情况千美元$是有限的。最后，截至2006年，这些作者将其描述为一个公开问题。
