根据里卡多·安德拉德（Ricardo Andrade）的建议，这是4个答案的组合，其中一些并没有直接回答最初的问题；正如他所说，由于答案是分开的，所以很难解析这个线程。我还对一些段落进行了重新排序。
缺乏详细和完备的说明性的文学中利玛窦流短时间存在的证明关于Deane Yang的答案，不幸的是，在我们的书中，我们没有一个完整、完备的证据来证明具有光滑初始数据的封闭流形上Ricci流的短时存在性。我们的论述遵循了DeTurck和Hamilton的解释（在他的奇点形成论文中），将其简化为严格的抛物线系统。在他的博客中，Terence Tao很好地描述了与Ricci流相关的抛物系统短时间存在性的证明。不过，很高兴能在文献中看到真正详细的证据。
针对Igor Belegradek的第一条评论:
我对这件事记忆犹新。事实上，Luen-Fai Tam（2009年）特别提出的问题是，在应用了DeTurck的技巧之后，如何吸引抛物线系统的标准理论（为了存在性和唯一性），以及我是否有这个标准理论的参考。（正是在这个意义上，我们的论述还不完整。）我不知道适用于流形的这个理论的详细陈述和证明。我假设他想的是将存在定理推广到无界曲率非紧的情况，或者可能是其他一些非标准的应用程序，在这些应用程序中，了解证明的细节是有用的。
非紧凑型外壳我认为这将很有帮助，因为尽管W.-X.Shi在假设有界曲率的短时间存在性方面有着开创性的工作，但对Ricci流的（完全）非紧情况还没有很好的理解。B.L.Chen和X.P.Zhu在假定曲率有界的非紧情况下证明了Ricci流的唯一性。几年前，Luen-Fai Tam问我关于存在的详细证据，对此我没有答案。所以我认为一定有一些非常有趣的相关问题，特别是在非契约情况下。当然，也有Igor Belegradek提到的Giesen和Topping的作品，以及Cabazes Rivas——Wilking等人的作品。
关于有效估计的问题关于持续依赖性问题，除了Terence Tao所说的之外，我认为可能还有一种方法可以得到一些有效的估计，可能与我与Peng Lu和Lei Ni合著的书中第7章第5节所述的计算有关。
针对Igor Belegradek的第二条评论:
感谢您提供有关应用程序的信息。我开始尝试按照我上面讨论的思路写一些关于持续依赖的东西。我在2011年3月15日发给Deane Yang的电子邮件附件中找到了一个pdf文件（5页）。不久之后，我决定从RF第四部分（仍在准备中）中删去这一部分，但还无法找到tex文件，因此这个未经编辑的pdf文件包含了一些无关的内容。我刚刚把它放在了URL上：http://www.math.ucsd.edu/~benchow/ContinuousDependencie.pdf(回程机)它只是一个想法的开始，可能包含严重的错误，因为它还没有被校对，所以美国或买方此外，其他方法，如陶喆提到的方法，可能要好得多。
连续依赖性是解决方案如何依赖其初始数据以及解决方案族（尤其是单参数族）研究这一更广泛问题的一部分。以下是一些可能的工具的介绍。
线性化Ricci流和解族与此相切（离题一点），但可能相关的问题是如何对线性化的Ricci流应用一些先验估计。特别是，我不知道线性跟踪Harnack估计（假设有界$\运算符名称{Rm}\geq0$汉密尔顿和我得到的（除了雷尼应用的这一估计的凯勒类比）；另请参阅Ni和Tam对非紧情况下线性跟踪Harnack估计的证明，Hamilton和我最初没有证明。另一个可能相关的估计是Greg Anderson和我对3维Ricci流解的pinching估计；这是对三维Ricci流的Hamilton挤压估计的扩展。布伦德在证明布莱恩特稳定孤子的唯一性时使用了这个估计的椭圆版本。鉴于布伦德的工作，我实际上认为/希望，也许通过结合线性跟踪哈纳克估计和捏合估计的抛物线版本，可以成为研究三维古代解方面的方法的起点。当然，佩雷尔曼基于汉密尔顿早期的著作和猜想，对此有一个完整的（在某种意义上，几乎是完整的）理论。
线性化Ricci流的可能应用。
2013年12月12日：这是对我之前帖子的补充。连续依赖问题让我想起一些关于可以证明什么的问题($1$-参数）利玛窦流家族。此外，人们可能会问是否有更低的奇异（最大）时间作为函数的半连续型结果初始度量。
存在II类解决方案一个与顾和朱的工作有关的问题（arXiv:0707.0033）是：给定两个初始度量$g_｛0,0｝$和$g_{1,0}$有发言权$S^{3}$其中一个缩小了到一个圆点，其中一个形成$S^{2}\times\mathbb{R}$奇点（颈部）。对于任何光滑的$1$-度量的参数族$g_{s，0}$,$s\in\lbrack0,1]$，加入两者，存在$s^{\prime}$这样的解决方案$g_{s^{\prime}}（t）$具有$g_{s^{\prime}}（0）=g_{s^{\prime},0}$形成II型奇点？例如，如果我们从$g_{0,0}$一圆球与旋转对称和反射对称$g_{1,0}$形成一个颈部夹伤（Angenent和Knopf）$g_{s，0}$具有相同的对称性，我们必须买一些吗$s^{\prime}$花生形成两个相反的布莱恩特孤子？
三维古代空间$\卡帕$-解决方案.某些先验估计可能对他们的研究有用。佩雷尔曼的猜想是，假设截面曲率非紧且为正，那么布莱恩特孤子是唯一的可能（布伦德的结果是朝着这个方向发展的。）
为了扩展我上一篇文章的第三段，我们有一个对线性Ricci流进行以下启发式计算；这个最大化原则的应用需要证明是合理的，并且可能需要进一步假设。给定一个黎曼度量不变量T美元$属于$克$，让D美元_{v} T型$表示T美元$根据变化$v（美元）$属于$克$.我们有$D_{v}（-2\运算符名称{Ric}）=\增量_{五十} v（v）-\马查尔{左}_{\操作符名{G}（v）}G$,哪里$\增量{L}$是Lichnerowicz Laplacian$\运算符名称{G}（v）=$
$\运算符名称{div}v-\压裂{1}{2}\nabla\operatorname{tr}v$（例如。，$\operatorname{G}（\operator name{Ric}）=0$给予$\压裂{\部分}{\部分t} \operatorname{Ric}=\Delta_{L}\operator名称{Ric}$在利玛窦流下）。
让美元（W）$是一个与时间相关的向量场。然后$\运算符名称{G}（\mathcal{左}_{W} 克)=\Delta W+\operatorname{Ric}\left（W\right）$和，通过微分同态不变性，$D_{mathcal（美元）{左}_{W} 克}（-2\操作员名称｛Ric｝)=-2\数学{左}_{W} \operatorname{Ric}=\frac{\partial}{\paratilt}（\数学{左}_{W} 克)-\马查尔{左}_{\压裂{\部分W}{\部分t}}g$.组合上述收益率$（\frac{\partial}{\paratilt}-\Delta_{L}）（\mathcal{L}_{W} 克)=\马塔尔{左}_{（\分数{\部分}{\部分t}-\增量-\运算符名称{Ric})\左（W\右）}g$因此，通过$\压裂{\部分}{\部分t}g=-2\操作员姓名{Ric}$和Bochner公式$\增量=\增量{d}+\操作员姓名{Ric}$作用于$1$-表单，如果是双重的$1$-形式$W^{\单位}=克（W）$满足Hodge-Laplacian热方程$（\分数{\部分}{\部分t} -\Delta_{d}）W^{flat}=0$，其中$\Delta_{d}=-（d\circ\Delta+\Delta\circ d）$,然后$（\frac{\partial}{\paratilt}-\Delta）|W|^{2}=-2|\nabla W|^}2}\leq0$和$（\frac{\partial}{\particalt}-\Delta_{L}）（\mathcal{左}_{W} 克)=0$.
我们可以尝试绑定$|\mathcal美元{左}_{W} 克|$。现在，如果单位：克（吨）$完整、古老、，而不是里奇公寓$R>0$（B.-L.Chen）。如果$n=3$和$R>0$，那么$（\frac{\partial}{\paratilt}-\Delta_{L}）v=0$暗示$（\frac{\部分}{\partial t}-\Delta-\frac{2\nabla R}{R}\cdot\nabla）\frac}\left\vertv\right\vert^{2}}{R^{2{}\leq0$（格雷格·安德森令人担忧的估计）。所以，如果$|v|\leq CR公司$在$t=0$，那么$|v|\leq CR公司$对于$t>0$（例如，对$\压裂{|\mathcal{左}_{W} 克|}{右}$将及时传播）。
此外，对于$n\geq2（美元）$和$\运算符名称{Rm}\geq0$和$v\geq0美元$有界，然后$\运算符名称{div}^{2} v（v）+\left\langle\operatorname{Ric}，v\right\rangle+\压裂{\operatorname{tr}v}{2t}\geq0$（汉密尔顿线性轨迹哈纳克）。我们有$（\frac{\partial}{\particalt}-\Delta）\operatorname{div}宽=\左\langle\运算符名称｛Ric｝，\mathcal{左}_{W} 克\右范围$（自$\运算符名称｛tr｝（\增量_{五十} v（v）)=\Delta（\operatorname{tr}v)$)和$\运算符名称{div}^{2} （\mathcal{左}_{W} 克)=2\增量\运算符名称{div}宽+\左图\langle\nablaR、 W\right\rangle+\left\langle\operatorname{Ric}，\mathcal{左}_{西}克\right\rangle$.假设$v=\马塔尔{左}_{W} 克+\操作员姓名{Ric}\geq0$对一些人来说美元\geq0$在$t=0$.然后$$2\frac{\partial\operatorname{div}宽}{\部分t}+\left\langle\nablaR、 W\right\rangle+\frac{\operatorname{div}宽}{t} +\压裂{A}{2}（\压裂{\部分R} {\部分t}+\压裂{R}{t}）\geq0。$$鉴于这一假设$\mathcal美元{左}_{W} 克\geq-A\操作员姓名{Ric}$，事实那个$-\frac｛\partial\运算符名称｛分区｝W}{\部分t}$有一些上限还有那个$\运算符名称{div}宽=\frac{1}{2}\operatorname{tr}（\mathcal{左}_{W} 克)$给一些束缚$|\mathcal美元{左}_{W} 克|$时间倒退。如果衍生品估计$\left\vert\nabla R\right\vert\leq CR^{3/2}$和$|\frac{\部分R} {\部分t}|\leq CR^{2}$等待，然后可以应用它们。
从时空角度看哈纳克线性轨迹的自然性。 它是时空度量的变化，满足时空Lichnerowicz-Laplacian热方程。
2013年12月15日：第二次跟进是关于线性轨迹哈纳克是如何自然产生的当看的时候$1$-Ricci流解的参数族时空观点。它可能与持续依赖无关但它可能与研究解的空间有关。
让$g（吨，秒）$成为$2$-满足指标的参数族$\压裂{\部分}{\部分t}g=-2\运算符名称{Ric}+\mathcal{左}_{W} 克$.第6节arXiv:0211350（Sun-Chin Chu）a函数$f（吨，秒）$和矢量场$W（吨，秒）$是由定义美元^｛-f｝d\mu{g（t，s）}=d\mu{g$，独立于%s美元$,和依据$W=\操作员姓名{tr}_{1,2}^{g（t，s）}$,具有相应的时空度量：$$\帽子{g}（X，Y）=g（X，Y），\四元\；\帽子{g}（T）=g（W）+df，\quad\；\帽子{g}（T，T）=R+|W|^{2}+2\frac{\部分f}{\部分t}+N$$用于空间矢量X美元，Y美元$.
的变化$\帽子{g}$是线性轨迹哈纳克：让$T=\压裂{\部分}{\部分t}$。以下内容位于$s=0$.如果$\压裂{\部分}{\部分s} g=v$，那么$$\frac{\部分}{\部分s}\hat{g}（X，Y）=v（X，Y），\quad\frac{\partial}{\局部s} \hat{g}（T）=\operatorname{div}v，\quad\frac{\partial}{\particals}\hat{g} （T，T）=\运算符名称{div}^{2} v（v）+\left\langle\operatorname{Ric}%，v\right\rangle。$$第二个不等式来自$\frac｛\partial f｝｛\partial s｝=\frac{\operatorname｛tr｝v}{2}$和$\压裂{\部分W}{\部分s}=g^{-1}（\operatorname{div}v-\压裂{1}{2} d日\操作员姓名{tr}v)$.来自$\frac{\partialR}{\particals}=\operatorname{div}^{2} v（v）-\增量\运算符名称{tr}v-\left\langle\operatorname{Ric}，v\right\rangle$和$\压裂{\部分}{\部分s}（\frac{\部分f}{\部分t}）=\frac{\部分}{\partialt}（\frac{\operatorname{tr}v}{2} ）=\langle\operatorname{Ric}，v\rangle+\frac{\增量\运算符名称{tr}v}{2}$（自$\operatorname{tr}（\Delta_{L}v） =\增量\运算符名称{tr}v$)，我们得到了第三个不等式。
线性轨迹的时空证明Harnack。
此外，Clairaut定理暗示了线性跟踪Harnack公式：$\hat{v}=\frac{\partial}{\paratils}\hat}$.然后$$\frac{\部分}{\部分t}\hat{v}=\ frac{\partial^{2}}{\局部t\部分s} \hat{g}=\frac{\partial^{2}}{\paratils\partialt}\hat}=\tilde{\Delta}%_{五十} \那{v}，$$哪里$\tilde｛\Delta｝_｛L｝$是一个时空利希纳罗维奇·拉普拉斯。来自对这一点的修改可以证明假设的线性迹Harnack估计有界非负$\运算符名称{Rm}$和$v（美元）$：在利玛窦流和$（\frac{\partial}{\paratilt}-\Delta_{L}）v=0$，我们有$$\操作符名{div}^{2} v（v）+\langle\operatorname{Ric}，v\rangle+2\langle\操作员姓名{div}v，X\rangle+v（X，X）+\frac{\operatorname{tr}v}{2t}\geq0。$$
哈纳克的线性轨迹与$\mathcal{L}$-几何和佩雷尔曼熵泛函。
2013年12月16日：第三次跟进讨论了线性轨迹Harnack和佩雷尔曼的$\mathcal{L}$-长度和他的能量被积函数。这可能不是令人惊讶的是，佩雷尔曼的几何学可能会在学习空间（例如。，$1$-参数族）。
让$g（套）$解决利玛窦逆向流动$\压裂{\部分}{\partial\tau}g=2\操作符名{Ric}$.给定路径$\gamma:\左[0，\bar{\tau}\right]\rightarrow\mathcal{M}$，我们有Perelman的$\mathcal｛L｝$-长度$\数学{左}_{g} （\gamma）=\int_{0}^{\bar{\tau}}\sqrt{\tau{（R{g}（\gamma（\tau），\tau$.让$v（\tau）$是线性化后向Ricci流的解$\压裂{\部分}{\partial\tau}v=-\增量_{五十} v（v）$，其中$\增量{L}$是Lichnerowicz拉普拉斯方程并考虑变量$\压裂{\部分}{\部分s}g=v$.
使用$\frac{\partialR}{\particals}=\operatorname{div}^{2} v（v）-\三角洲\操作员姓名{tr}v-\langle\operatorname{Ric}，v\rangle$，我们获得$$\压裂{\部分}{\部分s}\mathcal{左}_{g} （\gamma）=\int_{0}^{\bar{\tau}}\sqrt{\tau}（\operatorname{div}^{2} v（v）-\增量\运算符名称{tr}v-\兰格\运算符名{Ric}，v\rangle+v（\gamma^{prime}，\gamma ^{prime}））d\tau。$$自$\frac{\partial}{\paratil\tau}\operatorname{tr}v=-\增量\操作员姓名{tr}v-2型\langle\operatorname{Ric}，v\rangle$和$\压裂{d}{d\tau}（\操作员名称｛tr｝v（γ（τ），τ））=\压裂{\部分}{\部分\tau}\操作员姓名{tr}v+\langle\nabla\操作员姓名{tr}v，\gamma^{\prime}\rangle$,按部件积分产生$$\压裂{\部分}{\部分s}\mathcal{左}_{g} （\gamma）=\int_{0}^{\bar{\tau}}\sqrt{\tau}（L（v，\gamma^{\prime}）-\frac{\operatorname{tr}v}{2\tau}）d\tau+\sqrt{\bar{\tau}}\operatorname{tr}v\左（\gamma\left（\bar{\tau}\right），\bar{\tau}\right）+\int_{0}^{\bar{\tau}}2\sqrt{\tau{\langle W，\gamma^{\prime}\rangle d\tau，$$哪里$L（v，X）=\operatorname{div}^{2} v（v）+\langle\operatorname{Ric}，v\rangle-2语言\操作员姓名{div}v，X范围+v（X，X）$是（的稳定版本）线性轨迹Harnack和where$W=\操作员姓名{div}v-\裂缝{1}{2}%\纳布拉\操作员姓名{tr}v=\frac{\partial}{\paratils}\operatorname{tr}_{1,2}^{g}（\nabla{g（s，\tau）}-\nabla{g（0，\tau）}）$与德特克的诡计有关。
跟随佩雷尔曼并介绍迪拉顿$f美元$，如果$\frac｛\partial f｝｛\partial s｝=h$然后是his能量被积函数的变化是$$\压裂{\partial}{\particals}（R+2\Delta f-\left\vert\nabla f\right\vert^{2} ）=L（v，\nabla f）+2\左（\Delta-\nabla-f\cdot\nabla\右）（h-\frac{\操作员姓名{tr}v}{2} ）-2\langle v，\operatorname{Ric}+\nabla^{2} （f）\范围。$$当变量保持测量值时，即。，$\压裂{\部分}{\部分s} （e）^{-f}d\mu{g}）=0$，然后右边的第二个术语退出，因为然后$h=\frac{\operatorname{tr}v}{2}$.第三项在稳定状态下消失里奇孤子结构。
