在本文中，缩写“MTC”和“FPdim”代表“模张量类别”和“Frobenius-Perron维数”。
来自[DLN，定理II（iii）]，其中模块数据为归一化的，我们得到（见附录）：
定理1：素数美元$秩的全局维数范数的划分美元$MTC满足$p\leq 2r+1$.
这里，范数被定义为不同伽罗瓦共轭的乘积。
这个不等式是最优的，因为对于某些MTC（例如，Yang-Lee类别，其中$r=2$和$p=5$)，归类于[NWZ]。
然而，在积分情况下，期望值较高，如以下定理所示（也在附录中证明）：
定理2：让G美元$成为一个有限群。考虑一下Drinfeld中心$\mathcal{Z}（\operatorname{Rep}（G））$作为一个完整的MTC。让美元$成为它的等级。对于每个素数美元$划分其${\rm FPdim}=|G|^2$，然后$p\leq r美元$.
一般来说：
问题：如果是完整的MTC，这是真的吗$p\le r美元$?
如果这成立，那么不等式是最优的，如素数秩的点MTC的例子所示。
以下是通过与Eric Rowell（2022年7月）和Andrew Schopieray（2024年3月）的私人讨论实现的，更多细节见附录：
定理3：对于积分MTC，对于每个素数美元$分割全球${\rm FPdim}$，有一个基本${\rm FPdim}$多重性的百万美元$这样的话200万美元+1$.
更一般地说，我们可以证明：
定理4：对于积分MTC，让美元$是全局的奇素因子集${\rm FPdim}$。有一个分区$（S_i）$属于美元$、和多重性$（百万）$属于一些独特的基本${\rm FPdim}$是这样的$$m_i\ge\frac{1}{2}{\rm-lcm}{p\在S_i}（p-1）中$$
功能$\lambda（n）$，称为Carmichael函数，表示乘性整数组的指数取模n美元$因此，$\lambda（\text{prod}（S_i））={\rm lcm}_{p\in S_i}（p-1）$.
附录
模块化数据的Galois操作
让$（s，t）$成为归一化的模块化数据。伽罗瓦自同构美元\西格玛$诱导排列$X\到\西格玛（X）$对简单对象执行以下操作$\dim美元$,%s美元$和$t（美元）$:
(1)$\sigma（\dim（X）^2）=\frac{\sigma（\din（\mathcal{C}））}{\dim$,
(2)$\sigma（s_{X，Y}^2）=s_{X，\sigma（Y）}^2$,
(3)$\sigma^2（t_X）=t_{\sigma（X）}$参见[DLN，定理II（iii）]。
例如，有关模块化数据的显式规范化，请参见[PSYZ，第2节]。
定理1的证明：
如果$p=2.3$然后$p\le 2r+1$微不足道地$r \ge 1美元$.让$p\neq 2,3美元$是全球维度规范的主要因素。根据[BNRW]中的柯西定理，美元$划分${\rm字（t）}$。所以必须有一个简单的对象X美元$这样的话美元$将导体分开$t_X（美元）$因此$（σ^2（t_X））$至少有美元（p-1）/2$不同的元素，因为$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$是顺序循环的p-1美元$，所以它有一个元素$克$具有${\rm ord}（g^2）=（p-1）/2$因此，通过（3），$r\ge（p-1）/2美元$即。，$p\le 2r+1$.美元\平方$
定理证明3
考虑轨道$（σ^2（t_X））$至少美元（p-1）/2$与定理1的证明不同的元素。通过（3），轨道$（\西格玛（X））$至少也有美元（p-1）/2$不同的元素。通过对（弱）积分情况应用（1），我们得到$\sigma（{\rm FPdim}（X）$因此，轨道上的所有简单物体$（\西格玛（X））$有相同的${\rm FPdim}$，所以多重性百万美元$这个基本的${\rm FPdim}$满足百万美元（p-1）/2$即。，200万美元+1$.美元\平方$
定理2的证明：
根据[CGR]或[NN，第3节]美元$Drinfeld中心$\mathcal{Z}（\operatorname{Rep}（G））$由以下类别代表集中器中不可约字符的数量决定G美元$这相当于这些代表的中心化子中的共轭类的计数，也等于G美元$，详见这个帖子.戴夫的评论说明了这一点$r\ge\operatorname{ord}（g）$对于所有元素$克$在里面G美元$（因为成对的换向元件$（g，g^i）$对于$0\le n<\operatorname{ord}（g）$都属于不同的共轭类），特别意味着$r \ge p美元$对于所有基本因子美元$属于$|G美元|$根据柯西定理。美元\平方$
让我陈述定理2的强版本（如下Goeff评论):
定理2bis：让G美元$成为一个有限群。让$\伽马_G$成为一个完整的夫妻阶级代表。让$c_G（美元）$是共轭类的数量（即。$| \伽马_G|$). 让美元_G$是…的等级$\mathcal{Z}（\operatorname{Rep}（G））$（因此，交换元件对的共轭类的数量G美元$）。让Z美元（克）$成为…的中心G美元$.然后$$r_{G}\geq|Z（G）|c_G+\sum_{G\in\Gamma_{G{\backslash Z（G，G）}{\rm ord（G）}$$
证明：附录中的命题这个帖子声明$r_G=\sum_{a\in\Gamma_G}c_{c_G（a）}$，其中$C_G（a）$表示的扶正器美元$在里面G美元$.如果Z（G）中的$a\$然后$C_G（a）=G$等等$c_{c_G（a）}=c_G$。否则，通常我们有$$c_｛c_｛G｝（a）｝\geq|Z（c_｛G｝（a））|\geq｛\rm ord｝（a）$$结果如下。美元\平方$
定理1的朴素（前）证明（不使用[DLN，定理II（iii）]）：
如[NRWW，第3节]所述，MTC$\mathcal{C}$与模块化数据关联美元（S，T）$，给出了的投影表示$${\rm SL}（2，\mathbb{Z}）=\langle s，t\|\（st）^3=s^2，s^4=e\rangle$$这个表示可以提升为通常的（线性）表示$\rho美元$通过利用线性字符（即一维表示），形成一个循环顺序组$12$。此表示为美元$-尺寸，其中美元$代表的等级$\mathcal{C}$-和是同余。这意味着它通过${\rm SL}（2，\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}）$，对一些人来说n美元$最小的叫水平。液位确定为${\rm字}（\rho（t））$如前所述，满足$${\rm ord}（T）\|\{\rm-ord}（\rho（T））\|\ 12{\rm-ord}$$
有限维同余表示$\rho美元$级别的n美元$是完全可约的，因此它可以分解为不可约表示的直接和${\rm SL}（2，\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}）$。重要的是要注意，这只包括那些不可约表示，这些表示不会进一步通过${\rm SL}（2，\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}）$对于任何适当的除数d美元$属于n美元$然而，如果$n=\prod_i p_i^{n_i}$表示的素因子分解n美元$，然后$\rho=\bigotimes_i\rho_i$每个$\rho_i$是水平的同余表示$p_i^{n_i}$.
虽然对于这个定理来说不是必需的，但[NWW]证明了有限维同余表示等价于对称的属于[NWW2]的。
尺寸d美元$关于层次上的不可约有限维同余表示$=p^a$见[NW]末尾的表格。请注意$d\ge（n-1）/2美元$[只有当美元=1$]，导致$p\le p^a=n\le 2d+1$考虑到排名美元$MTC是尺寸总和d美元$对于这种不可约表示，可以得出如下结论$d\le r美元$因此$p\le 2r+1$.
根据[BNRW]中的柯西定理美元$素因子的${\rm字}（T）$与规范的基本要素一致N美元$MTC的分类维度（等级美元$). 素数美元$最后提到（令人满意$p\le 2r+1$)构成集合S美元$水平的基本因子n美元$同余表示。因此，$S\substeq S'\subsetq S\cup\{2,3\}$，自$｛\rm ord｝（T）\ | \n \ | \ 12｛\rm ord｝（T）$和12美元=2^2\cdot3$因此，对于所有主要因素$p\neq 2,3美元$属于N美元$，因此$p\le 2r+1$这种不平等通常适用于$p=2.3$.美元\平方$
工具书类
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[CGR]A.Coste，T.Gannon，P.Ruelle。有限组模块数据.核物理。B 581（2000），编号3，679–717。
[DLN]C.Dong，X.Lin，S.H Ng，共形场理论中的同余性质。代数数论9（2015），第9期，2121--2166。
[NN]D.Naidu，D.Nikshych，有限群扭量子双子的拉格朗日子范畴和编织张量等价.公共数学。物理学。279（2008），第3期，845–872。
[NRWW]S.H.Ng、E.C.Rowell、Z.Wang、X.-G.Wen、，模块化数据的重建${\rm SL}_2（\Bbb Z）$陈述。公共数学。物理学。402（2023年），第3期，2465-2545。
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[PSYZ]J.Plavnik，A.Schopieray，Z.Yu，Q.Zhang，模张量范畴、子范畴和伽罗瓦轨道，arXiv:22111.05228。
