非退化映射的Jacobians弱连续性成立吗？

Question

$\newcommand{\M}{\mathcal{M}}$ $\newcommand{\N}{\mathcal{N}}$

让$\M，\nN$是二维光滑、紧、连通、定向黎曼流形。（有或没有边界）。

让$f_n\rightharpoonup f$在里面$W^{1,2}（\M，\N）$具有$Jf_n>0$假设体积$V（\{x\in\M\，|\，Jf_n\ler\}）\到0$什么时候$n\to\infty$，对一些人来说0美元<r<1$.确实如此$Jf_n\rightharpoonup Jf$在里面$1（千）$对于每个$K\subset\subset\operatorname{Int}（\M）$.?

我可以假设f_n美元$是Lipschits和内射$V（f_n（\M））至V（\n）$.

---

“行列式的高可积性”意味着如果$\M，\nN$是开放的欧几里德域，那么$Jf_n\右箭头向上显示Jf$在里面$1（千）$对于任何紧凑型$K\子集\子集\M$.

---

没有假设$V（Jf_n\le r）\到0$，即使在以下情况下，答案也可能是否定的f_n美元$是差异形态：

采取$\M=\N=\mathbb{S}^2$.让$s:\mathbb{s}^2\to\mathbb{R}^2\\cup\{\infty\}$是赤平投影，让$g_k（x）=k x$对于R^2中的$x\$（和$g_n（\infty）=$.).

设置$f_n=s^{-1}\circ g_n\circs$.f_k美元$共形、保向、光滑微分因此$\int_{\mathbb{S}^2}Jf_n=V（\mathbb{S}^2）$.通过一致性$\int_{\mathbb{S}^2}|Df_n|^2=2\int_{\ mathbb}S}^2}Jf_n$是一致有界的，所以f_n美元$以为界$W^{1,2}$，并收敛到常量函数。（我们逐渐将球体越来越大的部分挤压到极点周围的一个小区域）。

因此，我们不存在弱收敛性Jf_n美元$到$Jf=0$.（雅可比收敛为极点狄拉克质量的度量。）问题是，是否通过添加非简并约束$V（Jf_n\le r）\至0$我们在弱收敛条件下恢复了这种雅可比连续性。

---

*（就我的申请而言$r=压裂{1}{4}$但我认为这无关紧要）。

Answer 1

这是一个反例，但可能有办法避免。

采取$\mathcal{M}=\mathcal{N}=\mathbb{S}^2$，但现在考虑两次覆盖球体的贴图序列，其中您将其中一个贴图的前像收缩到一个点。具体考虑使用立体投影$g_n:\mathbb{C}\cup\{\infty\}\to\mathbb{C}\ cup\}\infty$，那张地图$0$到$0$,$\部分B_{1/n}（0）$到$\infty（美元）$和$\infty（美元）$到$0$同样，正雅可比矩阵介于两者之间，例如$$g_n（x）：=\begin｛cases｝\frac｛x｝｛|x |｝\tan（\pi nx/2）&&\text｛for｝|x |</frac｛1｝｛n｝\\frac｛\overline｛x｝｝｛|x|｝\frac｛1｝｛|x|-\frac｛1｝｛n｝&&\text｛for｝|x|\geq\frac｛1｝｛n｝\end｛cases｝$$

这符合您的所有条件（但是$Jf_n=0$在一个圆上，这是一组度量$0$)，经过一个稍微繁琐的计算，您应该得到$g_n\rightharpoonup\frac{1}{x}$在里面$W^{1,2}$,$Jf_n\rightharpoonup 1+4\pi\delta_0$在分布和$Jf_n\geq\压裂{1}{2}$除了对应于$B_{1/n}（0）$事实上$Jf_n至1$几乎处处一致地位于除邻域以外的任何集合上$0$.

对于没有边界的歧管，避免这种情况的一个好方法可能是要求$\int_{\mathcal{M}}Jf_n dx=V（\mathcal{n}）$。冒泡理论的结果大致告诉你，上述情况是唯一发生的，即如果$f_n\rightharpoonup f$和Jf_n美元$在度量意义上收敛，那么$Jf_n dx\rightharpoonup Jf dx+V（\mathcal{n}）\sum_{i\in i}a_i\delta_{x_i}$，其中1美元$是一个有限集，$a_i\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$和$x_i\in\mathcal{M}$也就是说，唯一可能发生的事情是目标流形在单个点上“冒泡”的整个副本。因此，如果您只有一份可用的副本，并且您的条件是$Jf_n>r$需要你保留一个，没有人可以这样做。

具体来说，因为Jf_n美元$是非负的，极限作为度量也是如此，所以$Jf\geq 0美元$和$a_i>0$，但通过使用常量函数进行测试$1$你会得到$$V（\mathcal{N}）=\int_{\mathcal{M}}Jf_N dx\to\int__{\mathcal{M}{Jf dx+V（\mathcal{N}）\sum_{i\ in i}a_i$$所以要么$I=0$，这给了你$L^1美元$-收敛，或$Jf=0$，这意味着收敛，因此与假设相矛盾。