Jacobians的$L^1$强收敛对流形之间的映射有效吗？

Question

$\newcommand{\M}{\mathcal{M}}$ $\newcommand{\N}{\mathcal{N}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}$ $\newcommand{\Det}{\operatorname{Det}}$ $\newcommand{\Volm}{\operatorname{卷}_{\M}}$ $\newcommand{\Voln}{\operatorname{卷}_{\N}}$

让$\M，\nN$平滑、连接、定向、紧凑n美元$-维黎曼流形。让$u_k，u\在W^{1，n}（\M，\n）中$是利普席茨并满足$u_k\到u$在里面$W^｛1，n｝（\ M，\ n）$.（强收敛）。

这是真的吗$Ju_k\到Ju$强烈地处于$L^1（\M）$?

我可以证明$|Ju_k|\到|Ju|$强烈地处于$L^1（\M）$（见下文），如果我们能证明$Ju_k\到Ju$也就是说，我们完了。

我试图证明这一点$Ju_n\至Ju$也就是说，通过使用局部坐标，但这似乎并不简单；$单位（_k）$不一定一致收敛到$u（美元）$，所以不清楚如何做到这一点。（注意$Ju_k，Ju$在某一点上美元$取决于图像$u_k（p），u（p）$不同于欧几里德的情况）。

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我使用定义$W^{1，n}（\M，\n）=W^{1，n{（\M，\R^D）中的u（x）\n a.e.\}$，其中$\N个$隐式假定为等角嵌入美元\R^D$通过一些嵌入1美元$.$W^{1，n}（\M，\n）$继承了周围空间的强收敛概念$W^{1，n}（\M，\R^D）$.

雅可比矩阵是通过黎曼和方向结构定义的，即通过要求$u_k^*\Voln=（Ju_k）\Volm$哪里$\Volm，\Voln$是的黎曼体积形式吗$\M美元$和$\N个$分别是。

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证明这一点$|Ju_k|\到|Ju|$强烈地处于$L^1美元$:

$u_k\到u$在里面$W^{1，n}（\M，\n）$方法$i\circ u_k\到i\cic u$在里面$W^｛1，n｝（\ M，\ R^ D）$特别是$d（i\circ u_k）到d（i\ circ u）$在里面$L^{n}$（我们认为$d（循环u_k）$作为地图$T\M\至T\R^D$.)

向量束映射$L:T\M\至T\R^D$有一个相关的“绝对值雅可比”概念，定义如下$\Det L=\sqrt{\Det（L^TL）}=\ Det（\sqrt{L^TL}）$（由于目标光纤空间的维数大于源光纤空间的尺寸，因此我们没有带符号的雅可比矩阵。）

将此指定给映射$d（i\circ u_k）：T\M\到T\R^d$，我们很容易获得$\Det d（i\circ u_k）\到\Det d（i\circ u）$最后我们注意到$\Det d（i\circ u_k）=|Ju_k|$.

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编辑：

让我解释一下为什么我不这么认为$Ju_n\至Ju$很明显，根据定义，我们有$$（\Voln）_{u_k（p）}\big（（du_k）_{p}（v_1），\dots，（du_k）_{p}（v_1）\big）=（u_k^*\Voln$$哪里$v_i\在T_p\M中$.

所以，我们需要证明$$（\Voln）_{u_k（p）}\big（（du_k）_{p}（v_1），\点，（du_k）_{p}（v_1）\big$$
我们可以假设$u_k\到u$和$d（i\circ u_k）到d（i\ circ u）$a.e.开启$\M美元$.因此$d（i\circ u_k）_p（v_i）到d（i\ circ u）_p$问题是为什么这意味着趋同$（du_k）_{p}（v_i）\到du_{p{（v_ i）$在里面$T\nN（美元）$，这是我认为我们需要的，以便确定限额$(2)$.

Answer 1

实际上，您不需要假设映射是Lipschitz，因为这对于一般情况来说是正确的$W^{1，n}$映射

定理。如果$\mathcal{M}$和$\mathcal{N}$是光滑紧凑的定向流形，$\mathcal{N}\subset\mathbb{R}^D$、和W^{1，n}中的$u，u_k\（\mathcal{M}，\mathcal{n}）$,$u_k\到u$在里面$W^｛1，n｝美元$然后雅各布斯会聚$L^1美元$,$Ju_k\到Ju$.

证明.假设$Juk（_k）$不收敛于Ju美元$在里面$L^1美元$然后对于子序列（仍然表示为$单位（_k）$)我们会有$\垂直Ju_k-Ju\Vert_1\geq\epsilon$。如果我们进一步推断，我们也可以假设$u_k\到u$和$Du_k\到Du$即。

自$\mathcal{M}$是紧凑的，我们可以使用一个有限的地图集，它允许我们假设$\mathcal{M}=B^n（0,1）$。由于映射不需要是连续的，因此在上的地图集中定位映射$\mathcal{N}$不可能。

假设$\mathcal{N}$是的子流形$\mathbb{R}^D$.让$\欧米茄$是卷的形式$\mathcal{N}$。因此，我们可以始终假设$\欧米茄$是一个紧支撑的光滑形式$\mathbb{R}^D$所以$$\欧米茄=\sum_{|I|=n}\omega_Idy^I，\四线组dy^I=dy^{I_1}\wedge\ldots\wedge dy^{I_n}，\四线组1\leq i_1<\ldots<i_n\leq D。$$

如果$u\在W^｛1，n｝中（B^n（0,1），\数学｛n｝）$，那么我们可以将雅各宾派解释为n美元$-形式：$$u^*\omega（x）=\sum_{|I|}（\omega_I\circ u）du^{I_1}\wedget\ldots\wedge du^{in}=Ju（x）dx^1\wedge\ldots\widge dx^n$$请注意$\omega_I\circ u_k\to\omega-I\circu$函数是一致有界的，因为$\欧米茄$作为上的函数有界$\mathbb{R}^D$.此外，从三角不等式和霍尔德不等式可以很容易地看出$$du_k^{i_1}\楔形\ldots\楔形du_k_{i_n}\到du^{i_1}\楔形\ldots\楔形du^{in}\四边形\文本{在$L^1$.}中$$因此，很容易得出以下结论（三角不等式加上支配收敛定理）：$u_k^*\omega\到u^*\omega$在里面$L^1美元$，但这与$\垂直Ju_k-Ju\Vert_1\geq\epsilon$.