让$r_1、r_2、r_3、\dotsc$是Rademacher随机变量的IID序列，因此$\mathbb P（r_n=\pm1）=1/2$、和$a_1、a_2、\dotsc$是一个真实的序列$\sum_na_n^2=1$。对于$S=\sum_na_nr_n$，以下不等式总是成立吗？$$\mathbb P\left（\lvert S\rvert\ge1/\sqrt7\right）\ge1/2.\tag{*}\label{star}$$这是一个已知的结果，还是猜测？
以另一种方式表示，对于每个有限序列$a_1、a_2、\dotsc、a_N$具有$\sum_na_n^2=1$如果我们仔细看$2^N（美元）$总和$\pm a_1\pm a_2\pm a _3\pm \dotsb\pm a _N$，我们是否总是至少有同样多的绝对值1美元/\sqrt7$绝对值严格小于1美元/\sqrt7$?
背景
这一说法与托马谢夫斯基的一个猜想非常相似，即至少2^N美元$和的绝对值小于或等于1，而值大于1。这个猜想等价于浓度不等式$\mathbb P（\lvert服务器\le1）\ge1/2$，并且还没有得到证实，除了可能在一篇论文中（据我所知，目前还没有同行评审）Keller和Klein——Tomaszewski关于随机符号和猜想的证明最近发布在arXiv上。
我们还可以考虑更一般的反集中不等式$\mathbb P（\lvert S\rvert \ge x）$从下面开始。对于$x=0$下限一般为1，对于$x>1$，是的$0$。对于0美元<x<1$，然后，如我以前的回答，的佩利-齐格蒙德不等式可用于获得$$\mathbb P（\lvert S\rvert\ge x）\ge（1-x^2）^2/3，$$但这远不是最佳的。此外，对于$x=1$，正如我对另一个问题的回答所示，确实存在严格的正反集中界限，一个$L^0$Khintchine不等式Oleszkiewicz在1996年证明了$1/10$适用于以下情况$x=1$（英寸关于Rademacher序列的Stein性质)并推测最优界为$7/32$，但据我所知，这仍然是开放的。
运行蒙特卡罗模拟以随机选取美元$计算概率表明$\mathbb P（\lvert服务器\ge x）$在中是分段常量x美元$，因此只有一小部分x美元$绑定更改的值（特别是，$x=0,1/\sqrt7,1/\squart5,1/\squrt3,2/\sqrt6,1$). 如前所述$x=1$这是一个开放的猜想，所以我这里的问题是关于的最小非平凡值x美元$.
请注意，\eqref{star}是最好的可能，在这个意义上，如果其中一个不等式是严格的，它就不成立，因此，如果1美元/\sqrt7$概率内或$1/2$外部增加。考虑到$a_n=1/\sqrt7$对于$n\le7美元$，我们获得$\mathbb P（\lvert服务器>1/\sqrt7）=29/64$，并考虑$a_n=1/\sqrt2$对于$n\le 2美元$给予$$\mathbb P（\lvert S\rvert\ge1/\sqrt7）=\mathbb P（\lvert-S\rvert>0）=1/2。$$此示例还显示，对于任何$x\gt 0美元$，反集中界永远不会超过1/2，所以在这个意义上，\eqref{star}也是最优的，并且它会立即导致我们有最优不等式$$\mathbb P（\ lvert S\ rvert \ ge x）\ ge1/2 \标签｛**｝\标签｛starstar｝$$对所有人来说$0\lt x\le 1/\sqrt7美元$。事实上，不难证明\eqref{starstar}$x\le0.693/平方米7$如下：让$\lVert a\rVert_\infty=\max_n\lVert a_n\服务器$。我们分成两个案例，
- $\lVert a\rVert_\infty\ge x（垂直）$。在这种情况下，选择n美元$这样的话$\lvert服务器x$.翻转的符号r_n美元$不影响美元$，但如果$\lvert服务器<x$然后改变其值$\lvert服务器\ge x$，所以$\mathbb P（\lvert S\rvert\ge x）\ge\mathbbP（\lfert S\server\lt x）$，给出结果。
- $\lVert a\rVert_\infty<x$在这种情况下，如果我们允许美元\菲律宾比索（x）$是标准正态累积概率函数Berry–Esseen定理给予$$\mathbb P（\lvert S\rvert\ge x）\ge 2\Phi（-x）-2C\lvert a\rvert_\infty\gt 2\Phi\-x$$对于全局常数C美元$。我们可以使用C=0.56美元$（正如维基百科页面所述，2010年Shevstova证明了这一点Lyapunov定理收敛速度估计的改进). 评估右手边$x=0.693/平方米7$给出大于1/2的值。量化宽松政策
最后，我提到我已经在稠密的值网格上对\eqref{star}进行了数字确认美元$并且，通过限定插值误差，原则上应该会得到一个（相当不令人满意的）证明。
