复配位与Chern数

Question

让L美元$成为拉扎德的万能戒指$R=\mathbb{Z}[b_1，b_2，\cdots，b_n，\cdot]$，被视为阶为b_i美元$等于200万美元$.让$\θ：左\右箭头R$是携带普遍形式群定律的同态$\mu^L$正式集团法$$\mu^R（x_1，x_2）=\exp$$其中幂级数$$\exp（x）=x+\sum_{i\geq1}b_ix^{i+1}$$和$\log（x）$它的逆函数，表示为$$\log（x）=x+\sum_{i\geq1}m_ix^{i+1}$$让百万美元$是复同基谱，根据Quillen定理，我们得到了下面的交换图$\需要{AMScd}$ \开始{CD}L@>\θ>>R\\@V\cong V V@VV\conc V\\\pi_*（MU）@>>h>h_*（MU；\mathbb{Z}）\结束{CD}

哪里$小时$是Hurewicz同态。

在第9节第二部分

J.F.亚当斯。稳定同伦和广义同调，芝加哥数学讲座。芝加哥-伦敦：芝加哥大学出版社。十、 373第3.00页（1974年）。ZBL0309.55016号.**

据说这个班$[\mathbb{C}P^n]\in\pi_*（MU）$发送到$（n+1）m_n\在H_*（MU；\mathbb{Z}）中$通过$小时$这里指出这个参数是一个Chern数计算，但我没有看到这个参数**

如果您能草拟证据或指出包含证据的参考文献，我将非常感谢您的帮助。谢谢您！

Answer 1

这是一个关键结果$$MU_*\xrightarrow{h}h_*（MU；\mathbb Z）\xright arrow[\sim]{\Phi^{\vee}}h_*（BU；\mathbb Z$$

哪里$\Phi^{\vee}$是Thom同构的对偶美元\菲律宾比索$，同意对正常Chern数进行评估。

换句话说，$\langle\Phi（c），h（[M]）\rangle=\bar c（M）$为所有人$c\单位：H^*（BU）$以及所有人$[M]\百万美元_*$.

（实际案例中的参考是第228页的图表代数拓扑简明教程作者J.P.May。复杂的案例是相同的。）

因此，断言只是一个Chern数计算：

$h（[\mathbb CP^n]）=（n+1）m_n$当且仅当$c\在H^{2n}（BU；\mathbb Z）中$,$$\langle\Phi（c），（n+1）m_n\rangle=\bar c（\mathbb CP^n）$$