这里是$\mathrm忠实代表存在的非公开证据{SL}_2（\mathbf{Z}）$in$\mathrm{SU}（2）$，使用基本代数几何和拓扑，并依赖$\mathr的汞齐分解{SL}_2（\mathbf{Z}）$。
[基本思想是，如果$\mathrm{SU}（2）$中的所有表示都是非忠实的，那么根据Zarisk-density，这也适用于$\mathr中的表示{SL}_2美元。我们需要使用$\mathrm演示的特定形式{SL}_2（\mathbf{Z}）$，因为参数不会传递$\mathrm的表示{SL}_3$\mathrm{SU}（3）$中的（\mathbf{Z}）$。]
设$P_t$是带有行列式1和跟踪$t$的$2\乘以2$矩阵的集合。$P_0$和$P_1$都是不可约的代数变种（是$\mathrm{SL}_2$魔术课程）。那么对于特征为零的字段$K$，$P_0（K）$是$\mathrm中4阶元素的集合{SL}_2（K） $和$P_1（K）$是$\mathrm中顺序为6的元素集{SL}_2（K） 美元。
对于P_0\次P_1$中的每$（g，h）\，$g^2=h^3$等于$-I_2$。因此，$$\mathrm的表示集{SL}_2（\mathbf{Z}）=langleu，v\mid-u^4=v^6=[u^2，v]=[u，v^3]=1\rangle$$（限制于$u$的图像具有顺序4，而$v$的顺序具有顺序6的图像）到$\mathrm{SL}_2（K） $可以自然地标识为$（P_0\times P_1）（K）$。请注意，$P_0\times P_1$是不可约的。
写入$P_t^\sharp=P_t（\mathbf{C}）\cap\mathrm{SU}（2）$。然后使用$\mathrm{SU}（2）$就是$\mathr中的Zarisk-dense{SL}_2并将$P_t（\mathbf{C}）$描述为一个共轭类，我们推断$P_t^\sharp$是$P_t（\mathbf{C{）$中的Zarisk-dense。所以$P_0^\sharp\times P_1^\sharp$（这是一个四维实流形）是$（P_0\times P1）（\mathbf{C}）$中的Zarisk-dense。
对于$\mathrm中的每个给定的非平凡元素$w${SL}_2（\mathbf｛Z｝）$在$w$上消失的表示集是$P_0\times P_1$的适当子变种，因此具有维数$\le 3$。通过$P_0^\sharp\times P_1^\sharp$的Zarisk密度，我们推导出它与$P_0 ^\sharp\times P_1^\sharp$的交集是一个适当的Zarish闭子集（因为$\mathrm{SL}_2（\mathbf{Z}）$在$\mathrm中允许一个忠实的表示{SL}_2（\mathbf{C}）$，标准值）；特别是它的内部是空的（在普通拓扑中）。根据Baire定理，所有$w$上的并集仍然是一个适当的子集。因此，我们推导出定义忠实表示的$P_0^\sharp\times P_1^\sharp$元素的存在性。
