无限阿贝尔Cayley图的色数

Question

最近在平面的色数德格雷提出了一个有趣的事实，即某些凯利图具有较大的色数；即，顶点是给定复数绝对值||的某个数域K的整数环的图，其中x和y相邻当且仅当|x-y|=1。

这让我意识到我对无限Cayley图的色数知之甚少，也让我惊讶的是，我在文献中找不到太多！

下面是一个示例问题。设A是有限生成的自由阿贝尔群，S是A的有限子集，在否定下闭，G是Cayley图，其顶点是A的元素，其中A，b是相邻的当且仅当|A-b|位于S中。

对于每个整数N，G都有一个商G/N，这是一个有限的Cayley图，其顶点是a/NA，其边由a/NA中的S的图像给出

显然，G/N的着色拉回G，所以我们得到了色数的一个不等式

$\chi（G）\leq\ chi（G/N）$。

我的问题是：总是这样吗

$\chi（G）=\inf_N\chi[G/N）$？

换句话说：如果G有一个k着色，它是否一定有一个周期性的k着色？

（您可能认为$\inf_N\chi（G/N）$是亵渎神灵凯利图。）

我甚至不知道如何为A=Z做这件事！

Answer 1

下面是$A=\mathbb Z$的答案（假设$s$是有限的）：

设$c$是$\mathrm{Cay}（\mathbbZ，S）$的最佳着色（即使用最少的颜色数），并设$k>\maxS$。$\mathrm{Cay}（\mathbbZ，S）$中的度数是有界的，因此$c$使用有限数量的颜色。

这意味着序列$（c（n+i））_{0\leq i\leq k}$只有有限多个可能性，因此存在$n_1，n2\in\mathbb Z$，使得$n2>n_1+k$和$c（n_1+i）=c（n2+i）$对于$0\leq i\leq k$。在不损失通用性的情况下，假设$n_1=0$，$n_2=l$

定义颜色$d$x$d（n）=c（n\mod l）$。这显然是周期性的。由于$k>\max S$和$c（i）=c（l+i）$对于$0\leq i\leq k$，任何顶点$n$的邻域在$d$中的颜色与$（n\modl）$的邻接在$c$中的相同，因此着色是正确的。