答案是肯定的：每个无限有限生成群都有一个子集，该子集可等价分解为其自身的适当子集。
这源于布兰登·苏厄德的一个定理：每个有限生成的无限组$G$允许整数的组$\mathbb｛Z｝$进行类似翻译的操作。https://arxiv.org/abs/1104.1231
这意味着$G$上存在$\mathbb{Z}$的自由动作，因此$\mathbb{Z{$的每个元素都充当$G$的摆动组的元素。也就是说，存在一个没有有限轨道的双射$f:G\rightarrowG$，以及一个有限分区$G=\bigsqcup_{i=1}^nX_i$和G$中的有限多个群元素$a_1、\dots、a_n，使得$f（x）=a_ix$表示x_i$\中的所有$x。如果我们将$T$作为$G$的子集，其中每个轨道正好包含一个点，并将$a$定义为集合$a=\bigsqcup_{n\geq0}f^n（T）$，那么$f（a）$是$a$的适当子集，分区$a=\ bigsqcup_{i=1}^nA_i$，其中$a_i:=a\cap X_i$以及组元素$a_1、\dots、a_n$，证明$A$与$f（A）$是等分的。
编辑：我意识到还有一个简单的直接参数，它还表明$n$在$G$的有限子集$S$的最小大小上有界，这将生成一个$G$无限子半群。考虑该子半群$H$相对于其生成集$S$的（左）Cayley图，即顶点集为$H$，对于S$中的每个$S和H$中的每一个$H，有一条从$H$到$sh$的有向边。这个图是无限的，并且是局部有限的，所以根据Kőnig引理，它包含一个无限测地线，比如顶点$h_0，h_1，dots$。设$A:={h_0，h_1，h2，\dots\}$，并设$B=A\setminus\{h_0\}$。对于每个$n\geq0$，s$中都有一些$s_n，这样$h_{n+1}=s_nh_n$，因此$A$在s$中被划分为有限多个集合$A_s$，$s\n，其中$A_s$$由$s_n=s$的那些$h_n$组成。然后$B$被s$中的$sA_s$、$s\分区，因此$A$和$B$是等分的。
