哈密顿系统的孤立周期轨道

Question

有没有在整个相空间中孤立周期轨道的自治哈密顿系统的例子？这种轨迹在其能级内的庞加莱映射应该是非常退化的，因为所有具有相近能量值的能级都不包含周期轨迹：这真是一幅奇怪的画面！

卡尼库斯 · Accepted Answer · 2018年1月2日07:07:07Z

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如果我们取$H=I+\frac13（p^3-q^3）+I^2（p-q）$，其中$\omega=dI\wedged d\theta+dp\wedget dq$，

然后

$\dot q=p^2+I^2$

$\dot p=q^2+I^2$

$\dot I=0$

$\点\θ=1+2I（p-q）$

唯一的周期轨道是$q=p=I=0$。

回答2018年1月2日7:07

卡尼库斯

1981枚银质徽章5枚青铜徽章

$\开始组$ 一个很好的例子！有趣的是，这个系统也是可积的（第二个积分是$I$），并且对于相空间对合$G:（q，p，I，θ）\mapsto（-p，-q，I，-theta）$是可逆的，循环${q=p=I=0}$在$G$下是不变的。 $\端组$
– V.V.韦斯卡托夫
评论 2018年1月4日14:27
$\开始组$ 很高兴你喜欢！正如你所指出的，它是可积的，它也显示了可积系统的紧能级和非紧能级之间的区别（对于紧能级，Liouville-Anold意味着周期轨道属于族）。 $\端组$
– 卡尼库斯
评论 2018年1月4日18:27
$\开始组$ 不，这里紧凑无关紧要。假设每个变量$I$、$p$、$q$的范围为$[0；2\pi]$（如$\theta$），取$H=\sin I+\frac{1}{3}（\sin ^3p-\sin ^3G）+\sin ^2I（\sin p-\sin q）$与相同的$\omega$，然后$I$是另一个积分，$q=p=I=0$是一个周期轨道，它不再是唯一的周期轨道，而是其邻域中唯一的周期轨，尽管现在整个相空间是紧凑的（$4$-环面）。原因是$dH=dI$沿着轨道。顺便说一下，新系统对于相同的对合$G$仍然是可逆的。 $\端组$
– V.V.韦斯卡托夫
评论 2018年1月6日17:37
$\开始组$ 啊，我明白了，谢谢。只是积分沿轨道是相关的。 $\端组$
– Khanickus公司
评论 2018年1月9日1:36

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V.V.韦斯卡托夫 · Accepted Answer · 2018年8月13日17:32:02Z

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本文给出了另一个例子和许多推广

Mikhail B.Sevryuk，具有周期轨道或在整个相空间中唯一不变环面的可积哈密顿系统，arXiv:1808.03596

回答2018年8月13日17:32

1636枚青铜徽章

$\开始组$ 另请参阅刚刚在《阿诺德数学杂志》上“在线首发”发表的这篇论文的全文视图版本：link.springer.com/epdf/10.1007/… $\端组$
– V.V.韦斯卡托夫
评论 2018年11月23日10:10
$\开始组$ 以下是完整的参考文献：《阿诺德数学杂志》，2018年，第4期，第3-4期，第415-422页。 $\端组$
– V.V.韦斯卡托夫
评论 2019年5月15日18:59

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2个答案2