我认为霍尔婚姻定理将为耦合的存在提供必要和充分的条件：如果$i/\gcd（i，j）$是质数或$i=j$，则写入$i\sim j$。定义函数：\开始{align*}a \冒号\数学P（B）\到\数学P（a）；&\四元组a（T）=\{i\在a\colon\中存在于T\text{中，带有}i\simj\}\text{；和}\\b\colon\mathcal P（A）\to\mathcall P（b）；&\四元b（S）=\{j\在b\colon\中存在i\在S\text{中，带有}i\simj\}。\结束{align*}有两个等价的充要条件。
对于每个$S\subseteq\{1，\ldots，n\}$，您需要$\mathbb P（B\in B（S））\ge\mathbb-P（A\in S）$；或
对于每个$T\subsetq\mathbb N$，您需要$\mathbbP（A\in A（T））\ge\mathbb-P（B\in T）$。注意：在您的情况下，当然检查第一个条件要容易得多，因为要检查的$s$数量有限。
编辑（基于评论中的问题）
你问，鉴于$B$取无限集的值，霍尔婚姻定理是否适用。我想严格的答案是否定的，但这个定理的一个扩展确实适用。一个非常有用的事实是，一对离散随机变量的耦合集合形成了一个紧集（事实上，结果比这个更一般），其中一对耦合之间的距离正好是$（i，j）$概率差的绝对值之和。
首先，让我们证明条件是必要的。假设有一个耦合满足您的条件。这意味着$\mathbb P（B\in B（A））=1$。现在我们有$\mathbb P（B\in B（S））\ge\mathbbP（A\in S，B\in B（S），=\mathbb-P（A\ in S）$。类似地，$\mathbb P（A（T）中的A）\ge\mathbb P（A在A（T）中，B在T中）=mathbb P（B在T）$。
我们将使用紧性来表示充分性。让$\epsilon>0$。然后存在一个$M$，使得$\mathbb P（B\in B（S）\cap\{1，\ldots，M\}）\ge（1-\epsilon）\mathbbP（A\in S）$适用于$\{1的有限多个子集$S$中的每一个子集。霍尔定理给出了一个子耦合：${1，\ldots，n\}\times\{1，\tdots，M\}$上的一个测度，其中第$i$行的总和至少为满足约束的$（1-\epsilon）\mathbb P（a=i）$。然后，我们可以使用紧致性来取一个极限，这将是一个真正的耦合（因为每一行的总和都是正确的）。
如果满足另一个条件，则${1、\ldots、M\}$的每个子集$T$都有$\mathbb P（A（T）中的A）\ge\mathbbP（B（T）$。这允许您在$\{1，\ldot，n\}\times\{1、\ldots，M\}$上构造一个子耦合，其中每个列的总和为$\mathbb P（B=j）$。再次对这些进行限制，您将获得真正的耦合。
