非几何$C^\infty（M）$-模块的示例

Question

设$M$是光滑流形，$Q$是任意的$C^\infty（M）$-模$如果$$\bigcap_｛p\ in M｝\mu_pQ＝0，$$称Q$为几何的，其中$\mu_p$是$C^\infty（M）$中在点$p消失的函数的理想值$

根据定义，$q\in\mu_pQ$iff$q=\sum_{i=1}^Nf_iq_i$表示$\mu_p$中的某些$f_i$，$q_i$'s表示$q$

请求。构造一个非几何$C^\infty（M）$-模块。

对于任何向量丛$E\到M$，$C^\infty（M）$-模$\Gamma（E）$是几何的。这是因为，如果$\xi\in\mu_p\Gamma（E），$那么$\xi（p）=0.$，因此我们必须以不同的方式寻找非几何模。

我在杰特·内斯特鲁夫（Jet Nestruev）的书中发现了这个概念：

杰特·内斯特鲁夫,光滑流形和可观察项，数学研究生课程。纽约州纽约市：施普林格。xiv，222 p.（2003）。ZBL1021.58001号.

关于概念的备注：我或多或少调查了维诺格拉多夫的书目，我想这个概念首先出现在以下书中：

克拉西尔什切克，I.S。；Lychagin，V.V。；维诺格拉多夫，A.M。射流空间的几何和非线性偏微分方程。Transl.公司。A.B.Sosinskij著《来自俄罗斯的现代数学高级研究》，第1页。纽约等：Gordon和Breach科学出版社。xx，441页（1986年）。ZBL0722.35001号.

Answer 1

假设$M$是$\mathbb C$中的单位圆，并考虑$$f\mapsto\begin{bmatrix}f（1）&\frac{df}{d\theta}（1）\\0&f（1。这个同态使得$\mathbb R^2$成为一个$\bigcap_p\mu_p\mathbbR^2=\left[\begin{smallmatrix}\mathbb-R\\0\end{smallmatrix}\ right]$的$C^\infty（M）$-模块。

（通常，在M$中固定$x\，并让$\mu^2_x\子集C^\infty（M）$成为函数$f$的理想，这样$f$及其所有一阶导数在$x$处消失。然后取$Q=C^\infty（M）/\mu^2_x$。我相信$\bigcap_p\mu_p Q=\mu_x/\mu^2_x$。）

Answer 2

$\Gamma（M，\mathcal）怎么样{C}（C）_{M} ^{\infty}/\mathcal{我}_{x} ^{2}）$其中$\mathcal{一} _x（x）$是M$中$x点的理想层吗？