伯努利和符合黄金数

Question

让$B_n$表示伯努利数并让$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}2$成为黄金比例.

我遇到了下面的无穷大，我想问一下：

问题。这是真的吗？如果是，有证据吗？$$\sum_{\pmb{k=0}}^{\infty}\sum_{j=k}^{2k}\binom{k}{j-k}\frac{B_{j+1}}{j+1}=\frac{2\，\log\phi}{1-2\phi}$$

警告。不要尝试反转求和，它会发散！

更新。由于亨利·科恩（Henri Cohen）观察到了拼写错误，总和被编辑为$k=0$。建议读者，当金额以$k=1$开头时，尼莫就会给出答案。

Answer 1

好的，事实上这很简单：首先证明$\sum_{j=k}^{2k}\binom{k}{j-k}\frac{B_{j+1}}{j+1}=（-1）^k\binom}{k}\frac{1}{4k+2}$，其余立即。

编辑。亨利，我在编辑。如果你不同意，请删除它。我们需要证明$$\sum_{j=k}^{2k}\binom{k}{j-k}\frac{B_{j+1}}{j+1}=\frac{（-1）^{k-1}}{\binom}2k}{k}（4k+2）}$$我们还需要证明$$\sum_{k\geq0}\frac{（-1）^{k-1}}{\binom{2k}{k}（4k+2）}=\frac{2\log\phi}{1-2\phi}$$

Answer 2

利用伯努利数的积分表示，我形式上得到了二重求和的积分表示$$\sum_{k=1}^{infty}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\frac{B_{j+k+1}}{j+k+1}=2\cdot\int_0^\infty\frac{t}{e^{2\pit}-1}\ frac{dt}{t^2+（1+t^2）^2}=0.069591059035995961110566769。。。$$所以问题的另一种形式是$$\int_0^\infty\frac{t}{e^{2\pit}-1}\frac{dt}{t^2+（1+t^2）^2}=\frac14+\frac{ln\phi}{1-2\phi}$$$\it{Proof}.$自$$\压裂{1}{t^2+（1+t^2）^2}=\frac{1}}{\sqrt{5}}\左（\frac1{t^2+1/\phi^2}-\frac1\t^2+\phi^2}\右），$$根据digamma函数$\psi的Binet第二积分表示$$$\psi（φ）=-\frac1{2\phi}+\ln\phi-2\int_0^\infty\frac{t}{e^{2\pit}-1}\frac}{t^2+\phi^2}，$$$$\psi（1/\phi）=-\frac{\phi}{2}-\ln\phi-2\int_0^\infty\frac{t}{e^{2\pit}-1}\frac{dt}{t^2+1/\phi^2}，$$和$$\psi（φ）-psi（1/φ）=frac1{\phi-1}$$一个有\开始{align}&\int_0^\infty\frac{t}{e^{2\pit}-1}\frac{dt}{t^2+（1+t^2）^2}\\&=\frac1{2\sqrt5}\左（\psi（\phi）-\psi（1/\phi\\&=\frac14+\frac{ln\phi}{1-2\phi}。\结束{对齐}

Answer 3

下面是中第二个公式的简短证明T.Amdeberhan的编辑为H.科恩发布。

关键是要注意\开始{方程式*}\frac｛1｝｛\binom｛2k｝｛k｝（4k+2）｝＝\frac12 B（k+1，k+1），\结束{方程式*}其中$B（\cdot，\cdot）$是beta函数。通过观察，我们得到\开始{方程式*}\frac12\sum_｛k\ge 0｝（-1）^{k-1}乙（k+1，k+1）=\frac12\int_0^1\Bigl（\sum_{k\ge0}（-1）^{k-1}吨^k（1-t）^k\Bigr）dt=\frac12\int_0^1\frac{-1}{1+t-t^2}dt\结束{方程式*}它很容易验证为等于$\frac{2\log\phi}{1-2\phi}$。

Answer 4

这个问题有一个小错误：总和应该从k=0开始在k=1时没有。从数值上看，结果是完美的。现在证明一下！！！

我试图用伯努利多项式$B_n（x）$替换伯努利数：观察：1） 如果$x$不属于非常小的一组值（即使$x$非常接近$0$）。这应该很容易。2） 对于$x=1$，通常情况下，结果是$x=0$加上$1$$B_n（1）$的平凡属性。3） 对于$x=1/2$，级数收敛也很快，结果如下$x=0$加上$2/5$。4） 对于$x=3/2$，级数收敛的结果也为$4+2/5$。我敢说，当且仅当$x$是整数时，级数收敛或半整数（然后，只要初始值身份被证明）。

Answer 5

我本打算（对亨利·科恩的帖子）发表评论，但似乎有太多的字符。第一个方程来自“互易公式”$$（-1）^{m+1}\sum_{j=0}^k{k\choosej}\frac{B_{m+1+j}}{m+1+j}+（-1）|{k+1}\上面维基百科引用的$$在这里通过设置$m=k$。

参考文献包括

[$$1]M.B.Gelfand，关于伯努利数（俄语）之间某种关系的注记，巴什基尔。戈斯。乌克兰大学。扎普。序列号。材料31（1968）215-216。

[2] Takashi Agoh和Karl Dilcher，伯努利数的互易关系，《美国数学月刊》，第115卷，第3期，（2008），第237-244页。

[3] L.Saalschütz，Verkürtzte Recursionsformeln für die Bernoullischen Zahlen，Zeit。福尔数学。与物理。37 (1892) 374-378.