10
$\开始组$

闭子群$H\le SO（n）$是否有一种分类，使得在所有同伦群上包含$H\to SO（n$是平凡的？

例如，当组$H$是有限的时，就会发生这种情况。还有其他例子吗？

改进这个问题
$\端组$

1答案1

重置为默认值
12
$\开始组$

好的，$H$的单位元$H^0$必须是阿贝尔的，因为否则，它将有一个紧凑的简单元，并且$\pi_3$上的诱导映射将是非平凡的。

如果$H^0$有正维度并且是阿贝尔的，那么您要问的是$\pi_1（H^0）\to\pi_1（\mathrm{SO}（n））\simeq\mathbb{Z} _2$是否有问题。当然，这确实发生了。例如，如果$H^0=S^1$，并且它表示$\pi_1（SO（n））\simeq\mathbb中的零元素{Z} _2$，则在$\pi_1$中，以及因此在所有更高的情况下，同构上的诱导映射是平凡的。这首先发生在$n=4$时，因为在$\mathrm{SO}（4）$中有这样一个$S^1$（实际上，是它们的一个可数的不同家族）。所有$n\ge 4$都会发生这种情况。

就分类而言：给定$n$，最大环面$T^r\subset\mathrm{SO}（n）$（其中$r$，秩是$n/2$中的最大整数）中的余维数$1$subtori$T^{r-1}$将是可数的，这样包含$T^r$将诱导包含$\pi_1（T^{r_1}）\subset\pi_1（T^r）$使$\pi_1（T^{r-1}）$的所有元素在$\pi_1（\mathrm{so}（n））$中为零。那么你想要的交换群就是共轭于这种次极大环面的子群的交换群。

改进此答案
$\端组$
5
  • $\开始组$ 为了得到精确的描述，必须确定包含最大环面$T$的情况；如果$f_*：\pi_1（T）\to\pi_1（SO（n））$是平凡的，那么所有的tori都起作用。否则，为了进行全面的描述，我们需要使这个映射$f_*$显式；然后，对于$T$的子组$S$，只需检查复合映射$\pi_1（S）\to\pi_1（T）\to\fi_1（SO（n））$是否微不足道。 $\端组$
    – Y科尔
    评论 2017年4月24日14:46
  • $\开始组$ 然而，对于一个最大环面。同态$\pi_1（T^r）\to\pi_1（SO（n））\simeq\mathbb{Z} _2$总是很悲观。 $\端组$
    – 罗伯特·布赖恩特
    评论 2017年4月24日14:49
  • $\开始组$ 好的，所以只有一种可能的描述：实际上，对于$So（2）$的“标准”副本，诱导同态应该总是平凡的或非平凡的（因为它们都是共轭的），并且第一种情况被排除，因为最大环面是由有限多个标准嵌入的环面像生成的。这可能等于说，从$\pi_1（T）$到二阶循环群只有一个同态，在$T$的正规化器下是不变的。 $\端组$
    – Y科尔
    评论 2017年4月24日15:08
  • $\开始组$ 谢谢您！我不确定余维1子词源是什么意思。这是我的想法。用$\mathbb R^n/\mathbbZ^n$确定最大环面，并让$L\le\mathbb-Z^n$=索引$2$子群，它是$\pi_1（SO（n）$上满射的核心。给定一个子组$G\le L$，考虑其在$mathbb R^n$中的span$\mathbb RG$。那么$\mathbb RG/G$是一个当$\mathbb RG\cap L=G$时的子域。我认为这给出了最大环面内所有子群$H^0$的描述：$\pi_1（H^0）$在包含到$\pi_1（SO（n））$iff$H^0=\mathbb RG/G$中时变为零，其中$\mathbb-RG\cap L=G$。 $\端组$
    – 伊戈尔·贝尔格莱德克
    评论 2017年4月24日15:25
  • $\开始组$ @伊戈尔·贝尔格莱德克：是的，这与我所描述的是一样的。 $\端组$
    – 罗伯特·布赖恩特
    评论 2017年4月24日19:06

你的答案

单击“发布您的答案”，表示您同意我们的服务条款并确认您已阅读我们的隐私政策.

不是你想要的答案吗？浏览标记的其他问题或问你自己的问题.