最小度至少为3的最小唯一哈密顿图是什么？

Question

我想了解更多关于最小顶点度至少为3的唯一哈密尔顿图，特别是最小的哈密尔顿图。

（回忆一下，图是哈密顿量如果有一个循环正好通过每个顶点一次，则唯一哈密顿量如果只有一个这样的循环。）

这是我目前知道的最小的一个。

有人知道是否发布了较小的顶点（更少的顶点）吗？

几年后增加（2023年）

对于哈密顿性中几乎所有的极值问题，彼得森图都会出现，这也不例外。

这张图表明，图可以划分为两个9顶点诱导子图，每个子图都是通过从Petersen图中删除一个顶点，然后由四条明智选择的边连接而得到的。

通过在“半图”中争论路径如何连接四个“终端”（边到另一边的顶点），可以证明该图是唯一的哈密顿图。

这些数字是用来做什么的？它们肯定没有指明周期（这是显而易见的）。他们有其他信息吗？ — 伊利亚·博格达诺夫, 评论 2016年11月28日9:18
这些数字只是一个随意的标签，因此没有进一步的信息。 — 西澳大学的罗艾尔, 评论 2016年11月28日9:24
谷歌搜索会显示这篇文章：link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-319-39636-1_1它声称只有10个顶点上有这样一个图。 — 沃尔夫冈, 评论 2016年11月28日11:10
@沃尔夫冈这是一篇非常奇怪的论文。我同意它声称在10个顶点上有这样一个图。然而，它实际上并不包含任何图，除了一个不是唯一哈密顿量的10顶点图的图（图1）。本文几乎花费了全部时间对搜索算法进行扩展描述，根据使用的首字母缩写词的数量判断，搜索算法必须非常复杂，并且有大量的运行时间和成功率表等。但没有唯一的哈密尔顿图：-( — 西澳大学的罗艾尔, 评论 2016年11月28日12:05
啊哈，想出来了。上述文章中的10-顶点图具有这样的性质：它的边只包含在一个哈密尔顿圈中。这意味着可以通过简单的加倍过程将其转化为唯一的哈密顿图。因此，虽然10-顶点图本身并不是唯一的哈密顿量，但它导致了一个20-顶点的例子。 — 西澳大学的罗艾尔, 评论 2016年11月28日12:34

西澳大学的罗艾尔 · Accepted Answer · 2017年1月11日05:09:32Z

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这个系统鼓励我回答自己的问题，尽管这样做感觉有点奇怪。

无论如何，经过一点思考和一点（更实质性的）计算，我现在可以安全地得出结论，这个18顶点28边图是最小度为3的唯一哈密顿图，并且没有其他具有这种顺序（顶点数）和大小（边数）的图。

回答2017年1月11日5:09

12.5公里1枚金徽章49枚银徽章73枚青铜徽章

$\开始组$ 除了给出它的边的列表之外，还有对这个图的任何描述吗？ $\端组$
– 费多·彼得罗夫
评论 2023年12月24日18:49
$\开始组$ @FedorPetrov是的，有一个很好的描述-两个$P-v$的副本适当地连接在一起，其中$P$是Petersen图。我不能在评论中画图，所以我在问题中添加了图表。 $\端组$
– 西澳大学的罗艾尔
评论 2023年12月26日6:12

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托尼·休恩 · Accepted Answer · 2016年11月28日09:52:40Z

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我不知道这样的图最小的是什么，但由于您还要求了解关于最小度为$3$的唯一哈密顿图的更多信息，Entringer和Swart证明了下面的nice定理。

对于每一个$n=2k，k\geqsleat 11$，在$n$个顶点上都存在一个唯一的哈密尔顿图，它有两个度为$4$的顶点和所有其他度为$3$的顶点。

回答2016年11月28日9:52

托尼·休恩

31.8万11枚金徽章111枚银徽章184枚青铜徽章

$\开始组$ 是的，我看到了这篇论文，想知道他们的22个顶点的例子是否是最小的，这确实让我开始尝试寻找最小的。我的猜测是，我的18顶点示例是最小的，但我还没有证实这一点。我知道它是唯一一个有这么多顶点和边的。 $\端组$
– 西澳大学的罗艾尔
评论 2016年11月28日10:14

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