CW是可数型的，当它的所有同伦群都是可数的吗？（参考文献？）

Question

在为分段线性微束构造分类空间$BPL$时，人们希望它是一个多面体，即局部有限单形复合体。Milnor通过证明每个球面上的pl微束$mb_{pl}（S^n）$的同构类是可数的来解决这个问题。然后，Browns可表示性定理的某些特殊形式产生了可数CW复数$BPL$，而单纯形逼近则给出了该空间的可数单纯形复数形式。

现在，可以很容易地证明，（局部）可数、局部有限和局部紧对于CW或单形复形到同伦等价是一样的。（怀特海在他的“组合同伦”文章。米尔诺的第一页上也有一个摘要“关于具有CW复数同伦类型的空间”.他还表示，这与同伦等价于绝对邻域收缩是一样的。）

知道这一点，我想知道标题中的陈述：

给定一个具有可数同伦群的（连通）CW复形$X$，函子$[.，X]$满足Brown定理的条件，并且在球面上取可数值。因此，通过上述类似的参数，应该有一个表示这个函子的可数CW复数$Y$，并且通过通常的参数（Yoneda，Whitehead），我们可以看到它是等价于$X$的同伦。

相反，当有限CW复数的同伦群是有限生成的，并且取可数指标集上的极限保持可数性。

我是否在上述论点中犯了一些愚蠢的错误？如果没有，请：有人知道布朗定理的这个“可数版本”的很好的参考文献吗？甚至有人知道直接用同伦群来分类“可数类型”的CW复形吗？

提前谢谢你！

Answer 1

如果$X$是单连通的，则同伦群是可数的，前提是同伦群可数；然后可以使用可数群的Moore空间通过同源解析构建$X$，从而生成可数个细胞。

Answer 2

我不太清楚Jeff Strom的答案评论中所描绘的非隐含连通空间的证据，所以我在哪个方向发布了一个更详细的答案($\左箭头$)相反，使用CW近似证明了该权利要求。

索赔：余弦是同伦等价于连通CW复数的拓扑空间。该空间与可数CW复形是同构等价的，当且仅当其所有的同伦群都是可数的。

证明:($\右箭头$)假设X美元$同伦等价于连通可数CW复数。我们不妨假设X美元$本身是具有这些性质的CW络合物。根据的定理C墙壁或通过直接论据，$\pi_1（X）$是可数的。因此，通用盖$\波浪线X$属于X美元$具有标准CW结构（参见中的命题2.3.9[弗里奇和皮奇尼尼])也是可数的。应用的定理C墙壁我们再次发现，单连通CW复合体的所有同源群$\波浪线X$是可数的。由于可数阿贝尔群在所有阿贝尔群范畴内形成Serre类，这意味着所有同伦群$\波浪线X$也是可数的。作为的更高同伦群X美元$同意$\波浪线X$，这表明所有同伦群X美元$正如所声称的那样，是可以计算的。

($\左箭头$)反过来假设X美元$等价于具有可数同伦群的连通CW复形。然后是CW近似的通常构造$X'\到X$比如，第10.5条五月，生成可数CW复数X美元$根据怀特海定理，同伦等价于X美元$.看看这个X美元$是可计数的，回想一下X美元$归纳地构造为空间的集合X_k美元$.的单元格X_1美元$由同伦群的元素索引$\pi_i（X）$，根据假设可以计算，所以X_1美元$是可数的。添加其他单元格以获取$X_{k+1}$从X_k美元$由组中的成对元素索引$\pi_k（X_k）$.通过归纳法假设X_k美元$是可数的，我们从前面的证明中发现$\pi_k（X_k）$是可数的，因此$X_{k+1}$是可数的。因此，每个子复合体X_k美元$是可数的，因此也是可数的X美元$.美元\平方$

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