卡普拉诺夫和沃沃德斯基证明同伦假设的错误是什么？

Question

1991年，卡普兰诺夫和沃沃德斯基发表了一份证明这是一个众所周知的错误结果，粗略地说，空间的同伦范畴等价于弱无穷广群的严格无穷范畴的同伦类别。

1998年卡洛斯·辛普森显示他们的主要结果不可能是真的，但并没有解释Kapranov和Voevodsky的论文中的确切错误。

事实上，正如Voevodsky所解释的那样在这里在那之后的很长一段时间里，沃沃德斯基显然认为他的证明是正确的，卡洛斯·辛普森犯了错误，直到2013年他终于在论文中发现了错误！

尽管是错误的，但Kapranov和Voevodsky的论文包含了很多非常有趣的东西。此外，使用Johnson的Higher分类粘贴图作为广义Moore路径来限制无限群的证明的一般策略听起来像是一个非常合理的想法，至少对我来说，这有点令人惊讶，它不起作用。

事实上，当Carlos Simpson证明Kapranov和Voevodsky论文的主要定理是假的时，他猜测他们的证明可以让人得到空间的同构范畴等价于弱（酉）的严格非酉无穷大范畴的同构范畴无穷广群（这就是现在所说的辛普森猜想）。

因此：

有人能解释一下这篇论文到底出了什么问题吗？

Answer 1

这是我的猜测。为了将空间与其严格$infty$-群胚的概念进行比较，Kapranov和Voevodsky使用了Kan图集的一个中间类别，证明了它与空间和严格$inffy$-群胚等价（在反转适当的弱等价集合之后）。无论Kan图解集是什么，它们似乎是一个非严格模型，所以我们假设它们确实形成了一个空间模型。在这种情况下，错误一定是在比较Kan图解集和严格$infty$-群胚时（定理3.7）。这个定理依赖于命题3.5，该命题比较了Kan图解集$X$的同伦群和从$X$生成的严格$\infty$-群胚$\Pi（X）$的同伦群。这个比较又基于引理3.4，引理3.4表示$\Pi（X）$中的任何态射都可以通过$X$中的单个粘贴图来实现，在某种意义上是$X$的单元格（因为$X$是粘贴图的预兆）。但这一说法似乎并不正确，原因是当生成$\infty$-groupoid$\Pi（X）$时，不仅可以自由添加语素，还可以识别在严格的$\inffy$-类别结构中应该相同的语素对。这意味着，例如，如果两个不同的粘贴图在这个标识之后重合，那么它们之间的标识态射可能不是$X$中的粘贴图（或者至少，人们必须明确说明为什么会出现这种情况）。引理3.4的证明似乎足够模糊，以至于可以忽略这一微妙之处。当然，所有这些都可能是错误的，但如果我必须选择一个可能有问题的引理，那就是这个引理3.4。

Answer 2

这个MathSciNet评论（朱莉·伯格纳）高等范畴同伦理论, 新数学专著，19。剑桥大学出版社，剑桥，2012，有关于反例的注释。

审稿人补遗（2015年10月）：虽然没有明确说明，但本书包含了M.M.Kapranov和V.Voevodsky（在Uspekhi Mat.Nauk公司45（1990），第5期（275），183–184；MR1084995型并在中呈现Cahiers拓扑图。Differentielle猫。32（1991），第1期，第29–46页；MR1130401型)任何n-型都可以作为严格n-群体的实现。R.Brown和P.J.Higgins于年证明Cahiers拓扑图。Différentielle公司22（1981），第4期，371–386；MR0639048号Whitehead乘积因实现严格的n-群而消失，C.Berger在拓扑和数学物理中的高等同伦结构（Poughkeepsie，NY，1996），49-66，康斯坦普。数学。，227，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1999年；MR1665460型即使倒数被认为是弱的，这个结果仍然成立；格罗森迪克在他的信《追寻斯塔克斯》中也提到了这一结果。辛普森在这本书中的论点表明，即使在一个稍微更一般的实现函子下，这些结果也意味着我们不能得到作为任何严格3-群胚实现的$s^2$的3型，这与卡普兰诺夫和沃沃兹基的主张相矛盾。

Answer 3

自从我问这个问题以来，已经有一年半的时间了，我对此进行了很多思考，所以我决定发布我自己的答案。

首先，我完全同意Yonatan的观点，即主要问题在于引理3.4。他提到的具体问题正是因为沃沃德斯基（Voevodsky）和卡普兰诺夫（Kapranov）将“简并映射”添加到他们的图表类别中而出现的。更准确地说，人们可以使用简并构造一个图解集，由于埃克曼-希尔顿论证，其实现将“崩溃”，非常有趣的是，如果修改其定义，使类别没有简并，那么这种情况就不再发生了（自由$\infty$-类别只是通过“自由添加箭头”获得的）按照他们在论文中的假设逐步进行）。因此，如果有人认为简并与单位完全对应，这对于辛普森猜想来说是非常令人鼓舞的。我还没能把它变成这个引理的一个明确的反例，但这仅仅是因为这个引理实际上还有其他在那之前出现的问题。

最后，我认为他们证明的主要障碍如下：使用由某些图类参数化的“广义摩尔同伦”的最初想法似乎（至少在直觉上）需要图类的以下两个属性：

1） 人们应该能够正式地“组成”图表（并且它对应于几何实现层次上的推出），这样当您查看所有图表$D$的所有连续函数$|D|\rightarrowX$时，您确实会得到一个$\infty$-类别。

2） 给定两个“并行”$n$-图，您可以构造一个$（n+1）$-图（其源和目标是两个给定的$n$-diagram），以便如果使用两个图形状来表示同伦等价的$n$箭头，那么一个图实际上可以有一个表示此同伦的$（n+1）$-箭头。

似乎这两个属性对于它们所使用的图（约翰逊图）的类型都失败了！不幸的是，由于他们实际上使用了与引言中解释的略有不同的结构，这些并没有立即转化为论文中的错误。

尽管如此，他们实际上似乎使用了约翰逊图可以在上面提到的引理3.4的证明中组成，所以这可能是这个引理失败的第二个原因。

我不清楚他们是否（以及在何处）使用第二处房产，但我认为这类性质应该很重要，以证明图解集的几何实现确实诱导了与空间范畴的等价（他们对如何获得这种等价非常不精确，他们只是说“一个人的做法与单纯集和立方集完全一样”！）。

关于更多细节（以及引理3.4失败的第三个原因），我有一个最近的预印本(https://arxiv.org/abs/1111.00744)它构造了一类具有上述两个属性的图，只要您在“非单位”框架中工作，不幸的是，这类图比约翰逊图要复杂得多（它是唯一的，所以这种复杂性是不可避免的）这就避免了使用与他们完全相同的策略。我在论文的附录中详细讨论了卡普兰诺夫和伏伏茨基的证明（这将对这个答案进行大量扩展），并解释了如何使用我构建的图表类别将其作为辛普森猜想的证明的一些想法。这个新版本还有一个优点，那就是使解释这个结构的两种方法（广义摩尔同伦和使用两个附加词，中间有一个图的前置范畴）实际上等价。

更新：事实上，在随后的预印本，我确实证明了辛普森猜想的一个版本，基本上使用了卡普兰诺夫和沃沃德斯基的策略，并使用了一种修改过的图表类别。

请注意，仍有一些困难出现（由于图表类别的复杂性增加），目前我仍然无法证明辛普森猜想的最一般版本。准确地说，在这一点上，我只能限制一组特定的合成操作，我称之为“常规合成操作”（非正式地说，它们是那些粘贴图“拓扑规则”的操作）这样，在$\infty$-类别中的任何类型的组合操作都可以作为标识和非标识箭头的常规组合获得。因此，它确实给出了一个概念，即您有一系列严格兼容的操作，并且在此基础上只有弱身份，但您仍然可以希望找到具有更严格操作的更强大的语句。