曲面上的测地线和曲率线之间的关系？

Question

我试图理解测地线和主曲率线之间的关系（为了简单起见，我们假设嵌入了黎曼2流形$\mathbb{R}^3$). 在阅读过程中，我在《Cartan，正交框架中的黎曼几何》（第231-232页）中遇到了以下讨论：

1. 平行传输保持主方向、主曲率、渐近切线和测地曲率。

2. 让百万美元$和$M^\prime美元$是曲率线的两个相邻点。在平行运输条件下，该点的主要方向百万美元$转移到该点的主要方向$M^\prime美元$因此曲率线是测地线。后者具有零扭转和恒定曲率。

然而，我不能理解这里的上下文。例如，考虑Monge的椭球体（可在第3页的这篇论文). 在我看来（事实上，我可以通过数值积分来确认），如果我从曲率线的切线开始构造测地线（例如，靠近脐点的切线），测地线看起来与曲率线完全不同。什么给你？

一般来说，我对以下问题感兴趣。对于嵌入球体美元$，考虑一个围绕任何循环的完整性等于2美元\pi$乘以该循环所包含脐带点的索引之和。（这里我指的是主叶理意义上的指数。）测地线是由主曲率的连接线定义的吗？再一次，数值实验说“是的”，但Cartan说“不是”——根据上述说法，曲率线似乎只是相对于测地线而言的奇维塔连接。