你说得对。这是我们应该知道的事情。假设$\mathsf{LNS}$是这样的语句，即每个这样的函数f都有一个f-good集。
结果
我声称$\mathsf{LNS}$承认
- 圆锥体避免（如果A是不可计算的，那么$\mathsf{LNS}$的任何可计算实例都有一个解X，使得A不是可计算的）
- 超免疫保存（如果$A_0、A_1、\dots$是可数的多个超免疫集，那么$\mathsf{LNS}$的每个可计算实例都有一个解X，使得$A$相对于$X$是超免疫的）。
因此，$\mathsf{LNS}$既不意味着$\mathf{ACA}_0$，也不是$\mathsf{ADS}$。
组合数学
修复一个可计算实例$f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb2{N}$，设$f_0:\mathbb{N}\to\mathbb2{N}$和$\tilde{f}:\mat血红蛋白{N}\to\mathbb{N}$是分别由$f0（x）=f（x，0）$和$\tilde{f}（x）=\limsf（x、s）$定义的函数。注意，$f_0$是可计算的，而$\tilde{f}$则不是。
如果有一些$i$，使得对于无限多的$x$，$\tilde{f}（x）=i$，然后选择这样的$i$最少的一个，并注意到集合$\｛x:\tilde｛f｝（x）=i\｝$是c.e.，它的每一个无限可计算子集都是$f$-good。所以从现在开始，我们将假设对于每个$i$和几乎每个$x$，$\ tilde{f}（x）>i$。
我们将通过使用Mathias的变体forcing$（f，X）$来构建一个$f$-good集，其中
- $F$是$\tilde{F}$不递减的有限集。
- $X$是一个无限集，因此$\max F<\min X$。
- 对于F$中的每个$x\和x$中的每一个$y\，$\tilde{F}（x）\leq\tilde}（y）$。
特别是，$（\emptyset，\omega）$是一个有效条件，并且给定条件$（F，$（F\cup H，X\setminuse[0，n]）$是某些$n\in\mathbb{n}$的有效扩展。
现在我们想在给定条件$（F，X）$的情况下，确定$\Sigma^0_1$公式$\varphi（G）$。让$\mathcal{C}$成为$\Pi^{0，X}_1所有函数$h:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$的$class由$f_0$控制，这样，$\varphi（F\cup H）$不适用于$H$不递减的每个有限集$H\subset X$。有两种情况。
案例1:$\mathcal{C}$为空。在本例中，由于$\tilde{f}\not\In\mathcal{C}$，有一个有限集$H\subseteqX$，使得$\varphi（F\cup H）$成立，并且在其上$\tilde{F}$不递减。对于某些足够大的$n$，条件$（F\cup H，X\setminus[0，n]）$是一个有效的扩展，它强制$\varphi（G）$保持不变。
案例2:$\mathcal{C}$是非空的。通过弱K“onig引理，选择$h\in\mathcal{C}$和$h\oplus X$-可计算地细化集合$X$，以获得$h$不递减的无限集合$Y$。条件$（F，Y）$强制$\varphi（G）$不保持。
一个例子
例如，假设我们想证明$\mathsf｛LNS｝$允许锥形回避。假设$A$是不可计算的集合，$f$是$\mathsf{LNS}$的可计算实例。我们使用上面的条件$（F，X）$，以及额外的属性$A\not\leq_TX$。
给定一个条件$（F，X）$和一个$\{0,1\}$值的图灵函数$\Gamma$，我声称有一个扩展强制$\Gamma^G\neq A$。为了看到这一点，对于每个$n\in\mathsf{n}$和$i\in\{0,1\}$，让$\mathcal{C}（C）_{n，i}$是$\Pi^{0，X}_1$类在所有函数$h:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$中，这样$\Gamma^{F\cup H}（n）\uparrow$或$\Gamma^{F\ cup H{（n）\downarrow\neq i$对于$H$不递减的每个有限集$H\子集X$。考虑$X$-c.e集合$S=\{（n，i）：\mathcal{C}（C）_{n，i}=\emptyset\}$。我们有三个案例。
案例1:$（n，1-A（n））\以S$表示，大约$n$。在本例中，由于$\mathcal{C}（C）_{n，1-A（n）}=\空集$，有一个有限集$H\subseteqX$，使得$\Gamma^{F\cup H}（n）\downarrow=1-a（n$非递减。对于某些足够大的$n，条件$（F\cup H，X\set减去[0，n]）$$强制$\Gamma^G（n）\neq A（n）$。
情况2：对于某些$n$，$（n，0）$和$（n、1）不在S$中。在这种情况下通过圆锥回避基定理，有两个函数$h0\in\mathcal{C}（C）_{n，0}$，$h1\in\mathcal中{C}（C）_{n，1}$这样$A\not\leq_T h_0\oplus h_1\oplusX$。通过$h_0\oplus h_1\oplusX$-可计算的减薄对于集合$X$，我们得到了一个集合$Y$，其中$h_0$和$h_1$都是非递减的。条件$（F，Y）$强制$\Gamma^G（n）\neq 0$和$\Gamma^G（n）\neq1$，因此强制$\伽马^G（m）\uparrow$。
案例3:$S=\{（n，A（n））：n\in\mathbb{n}\}$。在这种情况下，我们可以$X$-计算$A$，矛盾。
这就完成了圆锥体回避的证明。
编辑：注意，可以很容易地使用$\mathsf{LNS}$的锥避免作为一个黑箱来为任何不可计算的集合$a$构建一个集合$X$，这样$a\not\leq_TX$，并且对于每个可计算的$f$，都有一些$n$，这样，$X\setminus[0，n]$就是$f$-good。
实际上，修复集合$A$，并考虑Mathias条件$（F，X）$，使$A\ not\leq_TX$。对于每个这样的条件$（F，X）$和每个可计算函数$F$，可以应用$\mathsf{LNS}$的锥避免来获得$F$-好集~$Y\substeqX$，这样$A\not\leq_TY$。条件$（F，Y）$强制$G$在有限变化范围内为$F$-良好。此外，对于每个条件$（F，X）$和每个$e$，都有一个扩展$（H，Y）$强制$\Phi_e^G\neq A$。每一个足够通用的强制概念都会产生所需的集合。
