我认为这种现象是不在度量的扰动下是稳定的，即一个小的扰动可以使最小化器是平滑的。
首先，让我解释一下它在“链接”扰动下是如何不稳定的
如果您有光滑的子流形$\Gamma^{n-1}\hookrightarrow\mathbb{S}^n\hookright arrow\tathbb{R}^{n+1}$，因此$\Gamma$，$C_1（\Gamma）=\{tx:x\in\Gamma[0,1]\}$上的锥是面积最小的，然后存在任意小扰动$\Gama_\epsilon\hookrightarrow \mathbb{S}{n}$\Gamma$的$\Gamma$，以便$\Gadma_\epsilon$的Plateau问题（即边界为$\Galma_\ε$的面积最小化器）的解是正则的。
一般来说，这是工作Hardt和Simon的研究表明，如果$C（\Gamma）=\{tx:x\in\Gamma，t\geq0\}$是面积最小化的（这相当于$C_1（\Gamma）$解决$\Gamma$的高原问题），那么$\mathbb{R}^{n+1}\setminus C（\Gamma）$是由光滑的，面积最小化超曲面，在无穷远处渐近于$C（\Gamma）$。对于你提到的西蒙斯球馆，这一事实早就被庞比里、德乔治和朱斯蒂证明了证明西蒙斯圆锥体的面积最小。
现在，因为这些光滑曲面是片状的$\mathbb{R}^{n+1}\set-nus-C（\Gamma）$，并且是渐近于$C（\Gamma）$的，所以我们可以找到一个，比如说$\Sigma_\epsilon$，它在一个（光滑）曲面中与$\mathbb{S}^n$相交，比如说任意接近$\Gamma_\epsilon$。因为$\Sigma_\epsilon$是面积最小化的，所以$\Simma_\epsilon\cap B_1（0）$必须是Plateau问题的解决方案。此外，由于$\Sigma_\epsilon$形成叶理（例如，通过最大值原理或校准参数），它是唯一的解决方案。
现在，通过上述事实，我声称我们可以构造一个欧几里德度量的小扰动，以便$\Gamma$限定一个唯一的面积最小化曲面，该曲面是光滑的。为此，只需构造一个差分同构$\phi:\mathbb{R}^{n+1}\ To \mathbb{R}^{n+1}$，使$\phi（\Gamma_\epsilon）=\Gamma$。显然，我们可以安排$\phi$在任何意义上都接近身份。现在，对于度量$\phi^*\delta$，$\Gamma$的Platau问题的解决方案是唯一和平滑的，因为它是$\phi（\Sigma_\epsilon）$。
编辑：我意识到我应该参考N.Smale的以下论文http://www.ams.org/mathscinet-getitem？mr=1243523“八维流形中同调面积极小超曲面的一般正则性”，他用这种论证证明了$8$-流形中$7$-维极小元对于一般度量是光滑的。我还应该指出（正如Smale在文章中所做的那样），这在更高的维度中是无法解决的。这与人们对高维极小超曲面奇异集的结构性质知之甚少有很大关系。
