有限生成群在一致凸Banach空间中的嵌入

Question

de Cornulier、Tessera和Valette（Geom.Funct.Anal.17（2007），770-792）推测，具有词度量的有限生成群$G$允许双线性嵌入到Hilbert空间当且仅当$G$包含与$\mathbb{Z}^n$同构的有限索引子群（约$n$）。据我所知，这一猜测仍然没有定论。我想知道如果我们允许任何一致凸空间作为目标空间，情况是否会发生变化。更准确地说：

问题：是否存在无限有限生成群$G$

（1） $G$不包含与$\mathbb{Z}^n$；同构的有限索引子群；（2） 赋有单词metric的$G$允许将bilipschitz嵌入到一致凸的Banach空间中？

Answer 1

对（1）的否定回答听起来像是我们猜想的自然延伸。

一些证据：在已知Hilbert猜想成立的主要两种情况下，同样的论点也适用于任意一致凸Banach空间（UCB）：一方面，非虚拟阿贝尔幂零群（根据Pauls的结果，它不将bilipschitz嵌入UCB），以及具有bilipschitz嵌入的3-正则树的群（Bourgain没有嵌入到UCB中，并且包括Benjamini-Schramm的非顺从f.g.群，还包括非事实上幂零的可解f.g.组）。