二阶初等等价的（非）绝对性

Question

在集合论的任意两个传递模型之间，基本等价是集合理论上的绝对等价；对于无限逻辑来说也是如此，例如。，$\mathcal美元{左}_{\omega_1\omega}$-至少，假设所讨论的模型具有所有相关的无穷公式。在这两种情况下，证明这一点的最简单方法是证明满意给定结构中的给定句子是绝对的（注https://arxiv.org/abs/1312.0670Joel David Hamkins和Ruizhi Yang，这证明我有理由限制传递的型号）。

对于二阶逻辑来说，后一种说法当然是错误的：“连续统假设成立”和“这个模型是可数的”这两种说法都可以用二阶句子表达，它们的真值取决于周围的宇宙，前者是“开关”，后者是“按钮”在强迫的模态逻辑意义上。

然而，仅此一点并不能证明二阶初等等价性。”$\equiv_{II}$“，不是绝对的。这是我所知道的最简单的表达方式$\equival_｛II｝$不是绝对的是考虑一对模型A、B美元$其基数具有不同的集合理论性质；例如，以美元$和十亿美元$成为具有基数的纯集$\aleph_0（美元）$和$\aleph_1美元$分别是。那么前者满足“我是可数的”，而后者则不满足，这可以用二阶句子来表达，因此它们不是二阶基本等价；然而，通过坍塌$\omega_1美元$我们制造美元$和十亿美元$同构的。

然而，这就留下了关于二阶初等等价的非绝对性的两类问题。我会在每节课上提到几个。

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首先，这在多大程度上取决于基数？

有等分吗美元$,十亿美元$这样美元$和十亿美元$在包含美元$和十亿美元$?

更强的版本：

有可数的这样的美元$和十亿美元$?

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第二，什么样的“转换行为”是可能的？上面给出的示例表明，我们可以“转向$\equiv_{II}$on，“但在该示例中，我们不能再次将其关闭。我们可以”打开的示例$\equiv_{II}$off”如下：取纯集美元$和十亿美元$基数$\vert A\vert<\vert B\vert$二阶基本等价；根据鸽子洞原理，我们实际上可以找到这样的美元$和十亿美元$基数$\le 2^{\aleph_0}{}^+$现在考虑一个强制扩展V美元[G]$在哪儿$\转换A\转换$是可计数的，但是$\vert B\vert$不是；在里面V美元[G]$,$不等于_{二} B类$这提出了几个有趣的问题。

首先，请注意，在上面的示例中，我们可以$\equival_｛II｝$通过塌陷再次恢复$\vert B\vert$到$\欧米茄$因此有必要问：

假设$A\equiv_{II}B$在里面V美元$对于每个通用扩展V美元[G]$，还有一个通用扩展$V[G][H]$在哪儿$A\equiv_{II}B$?

第二，到目前为止，我发现的唯一例子涉及到红衣主教的垮台。当然，当一切达到$\欧米茄$。所以我们可以问：

有一对结构吗以V表示的A、B美元$和一个$\欧米茄$-模型序列$V=V_0<V_1<V_2<$（其中“$W<W’$“表示”$W’$是的泛型扩展美元（W）$“）以便$V_i\型号A\等同_{二} B类$确切时间1美元$是平的吗？一般来说，什么样的“交替行为”是可能的？

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当然，这是一长串问题，我不希望在这里一一作答。基本上，我对这个问题的所有方面都感兴趣，所以我会接受任何有助于我了解事情总体情况的答案。

Answer 1

在这次编辑中，我修改了我之前的论点，并为哈灵顿定理添加了适当的条件。

我将在下面解释为什么可以安排模型百万美元$属于$采埃孚$即：

（a）包含两个非同构可数结构$\cal{A}$和$\cal{B}$（用有限的词汇）共享相同的二阶理论，以及

（b） 百万美元$具有泛型扩展，其中$\cal{A}$和$\cal{B}$他们的二阶理论不同。

(1)根据Marek的一个定理，如果连续统存在二阶可定义良序，那么只要两个可数结构在二阶逻辑中基本等价，那么它们就是同构的。

（2）另一方面，根据Ajtai的结果，如果G美元$科恩在模型上是泛型的吗百万美元$属于$采埃孚$，然后在百万美元[G]$将会有两个可计数的模型$\cal｛A｝$和$\cal{B}$在共享相同二阶理论的有限词汇表中（实际上它们在百万美元$并在二阶逻辑以外的许多其他逻辑中共享相同的理论）。

$\cal{A}$是结构$（F^{G}\cup\omega，<_{\omega}，P_{G}）$，其中$F^｛G｝美元$是的所有子集的集合$\欧米茄$在有限多个地方与G美元$、和$P_{G}$是指定哪些自然数属于中的哪些子集的关系$F^{G}$.$\cal{B}$定义类似$\omega\set减去G$换成了G美元$.

自$\欧米茄$是刚性的，$\cal{A}$和$\cal{B}$是非同构的，并且此外，在任何泛型扩展中保持非同构。

（关于上述（1）和（2）的证明和参考，请参见这份手稿(回程机)作者Lauri Keskinen，我相信这是他在ILLC阿姆斯特丹的博士论文）。

(3)根据哈林顿定理，如果百万美元$是的可数模型$采埃孚$在哪儿（a） $2^{\aleph_0}$是一个普通的红衣主教，（b） $2^{\aleph_0}>\aleph_1$、和（c） $\aleph_1=\aleph_1^{\bf{L}}$，然后百万美元$具有通用扩展百万美元[G]$其中存在连续体的二阶可定义阱排序（更精确地说$\增量^1_3$一）。

（见哈林顿定理2.1长投射有序,数学年鉴。逻辑, 1977; 关于的具体条件百万美元$在第8页，定理2.1证明的开头）。

根据（2），我们可以安排一个模型百万美元$属于$采埃孚$其中有两个非同构可数结构$\cal{A}$和$\cal{B}$如（2）所述，它们共享相同的二阶理论，从而百万美元$满足哈林顿定理的条件（a）、（b）和（c）$\aleph_2$科恩·雷尔斯的模型$ZF+V=L$). 然后通过使用（3）和调用（1），我们得到了$采埃孚$其中两个非同构结构过去具有相同的二阶理论，现在具有不同的二阶原理，因为它们仍然是非同构的，如（2）末尾所解释的。

根据乔尔·哈姆金斯（Joel Hamkins）的回答，我应该指出，凯斯基宁（Keskinen）上述手稿的第4节也讨论了大红衣主教对这里讨论的问题的影响。

你也可以找到我的答案这个问题感兴趣。

Answer 2

让我做一些非常笼统的观察，以解决您的一些问题，包括您在结尾提到的切换可能性。

首先，我认为根据以下假设投射绝对性，我们得到了可数结构与所有强迫扩张的二阶初等等价的理想绝对性。投射绝对性是存在足够大基数的结果，它断言投射语句（带实参）的真值不能通过强制改变。但现在的问题是，对于可数$A$和$B$，断言$A\equiv_{II}B$是由投影语句确定的，因为每个二阶断言本质上是在$A$或$B$的子集上进行量化的，因此是通过等价于实数上量化的可数性来确定的。因此，如果我们不能用编码$A$和$B$的参数更改投影语句，那么我们就不能影响$A$或$B$中任何二阶断言的真实性，因此$A\equiv_{II}B$对于强制扩展是绝对的。

其次，更一般地说，我认为如果最大值原理$\text{MP}（\mathbb{R}）$holds和$A\equiv_{II}B$的真值可以通过强制完全改变，其中$A$和$B$是可数的，那么实际上我们得到了您所问的完整切换行为；我们可以根据需要随时打开和关闭（尤其是在末尾实现偶数/奇数模式）。最大值原则（见我的论文一个简单的最大值原理也是Stavi和Väänänen的独立工作断言，任何可强制执行的必要语句（带有实际参数）都已经是必要的，或者换句话说，如果$\varphi（z）$是一个语句，可以以这样的方式强制它在所有进一步的强制扩展中仍然是正确的，那么在所有强制扩展中都已经是正确的。在这种情况下，关键是如果$A$和$B$是可数的，那么我们可以将它们用作参数，如果$A\equiv_{II}B$不能通过强制永久更改，那么$A\equiv_}II}B$或$A\not\equiv{II}B$是强制必需的语句，因为我们可以使其稳定，因此可以通过$\text{MP}（\mathbb{R}）$因此，通过强制，该语句必须是真实的且不可更改的。