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$\开始组$

有限群表示理论有一些有趣的应用吗？我想举几个例子，向一个知道什么是有限群，但不太了解什么是重复（比如知道定义）的学生解释。通常提到的标准应用是伯恩赛德定理http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_theorem应用程序可以是任何类型的，不一定是数学上的。但是数学应用程序当然也很好！！！如果您稍微描述一下这个应用程序，也会很有帮助。

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  • 7
    $\开始组$ 我想这应该是大名单和社区维基化的。。。 $\端组$
    – 玛丽亚诺·苏亚雷斯-阿尔瓦雷斯
    评论 2010年1月14日22:17
  • 1
    $\开始组$ Big-list是一种“问题类型”的分类，而不是它收到的回复数量。 $\端组$
    – 哈里·金迪
    评论 2010年1月14日22:54
  • 1
    $\开始组$ 埃朗根计划可能是相关的。 $\端组$
    – Anweshi公司
    评论 2010年1月15日0:17
  • 1
    $\开始组$ 再来一点请参阅数学中此线程的堂兄弟。东南方. $\端组$
    – Jyrki Lahtonen公司
    评论 2018年7月18日20:06
  • $\开始组$ 在化学中，你可以用表象理论把一个相当对称的分子的振动分解成模式。举个例子：考虑一个一维双原子分子，其原子在振动。运动可以分解为同向振动和反方向振动。当你计算出它时，这对应于$\mathbf{Z}/2$的表示$V$（来自原子作用的$\mathbf{C}^2$的张量积，和来自环境空间作用的$\ mathbf}C}$的张量积）到其不可约分量的投影。 $\端组$
    – 普尔奇内拉属
    评论 2019年6月12日12:16

20个答案20

重置为默认值
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$\开始组$

基里洛夫关于表象理论的书中有一个例子：在立方体的面上写下数字1、2、3、4、5、6，并用相邻数字的平均值替换（同时）每个数字。在多次迭代后描述（近似）面上的数字。

我喜欢在小组代表课程开始时使用的另一个例子是：写下有限组中的乘法表，并将其视为一个方阵，其条目是与组元素相对应的形式变量。那么这个矩阵的行列式就是这些变量中的多项式。描述其分解为不可约。德德金问了弗罗贝尼乌斯这个问题，使他发明了群字。

两个变量中的函数可以唯一地分解为对称和反对称（偏对称）函数的和。对于三个或更多的变量会发生什么？那里存在什么类型的对称？

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$\端组$
三
  • 1
    $\开始组$ 你能为基里洛夫的书提供参考信息吗？ $\端组$
    – 亚历克斯
    评论 2010年1月16日1:32
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    $\开始组$ @亚历克斯：《表征理论的要素》，斯普林格出版社，1976年 $\端组$
    – 弗拉基米尔·多森科
    评论 2010年1月18日23:42
  • $\开始组$ 准确地说，第3部分第16.1节。 $\端组$
    – 肯塔·铃木
    评论 2022年10月23日16:16
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$\开始组$

正如Anweshi刚才指出的，一个经典的答案是化学家使用字符表（如这本书例如）。红外光谱观察到，分子的对称群控制其振动光谱。当Kroto等人发现了$C_{60}$时，他们用这种方法证明了它的二十面体对称性。

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4
  • 三
    $\开始组$ 同样有趣的是在理解电子结构时使用有限群的表示理论：en.wikipedia.org/wiki/Term_symbol $\端组$
    – 史蒂夫·亨茨曼
    评论 2010年1月14日22:58
  • $\开始组$ 啊，非常感谢您的参考和解释！你对化学有兴趣吗？ $\端组$
    – Anweshi公司
    评论 2010年1月14日23:45
  • 7
    $\开始组$ 化学家们真的有关于群表示理论的课程，我有一个朋友是化学家，他教过一门。这就是说，如果你必须知道太多化学知识，那么把它融入数学课堂可能就不那么容易了！ $\端组$
    – 凯文·麦格蒂
    评论 2010年1月15日1:16
  • 1
    $\开始组$ 塞雷关于有限群表示的书的第一部分是专门为化学家写的。前几天，当我看到一份复印件时，我很惭愧地看到一位学习过他的课程的化学家比我更了解有限群的表示！ $\端组$
    – 乔尔·费恩
    评论 2010年2月2日12:38
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$\开始组$

我很惊讶没有人提到这一点：Frobenius内核是一个正常的子组。不确定任何点的元素集是否应该是一个子组，这一点尚不明确。有人告诉我，还没有完全的群论证据（没有性格理论）来证明这个事实。

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$\端组$
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$\开始组$

我喜欢Hurwitz定理的证明，即一个赋范除法代数必须使用初等2-群的表示理论具有维数1、2或4。

稍后：该论点的原始参考文献是[Eckmann，Beno.Gruppenthoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radonüber die Komposition quadratischer Formen.（德国）Comment.Math.Helv.15，（1943）.358-366。MR0009936（5225e

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$\开始组$

塞雷在他的书中提到，第一部分和例子都与量子化学家非常相关。如果你能把它挖出来，它可能会非常令人兴奋。也许，这是为了了解晶体结构等。。

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$\端组$
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  • $\开始组$ Anweshi，谢谢！我手里拿着Serre的书《有限群的线性表示》。数学研究生课程。Serre在一句话中提到了“quatnum Chemistry”，但这就是……这是本书吗？ $\端组$
    – 德米特里·帕诺夫
    评论 2010年1月14日23:05
  • 1
    $\开始组$ 那是这本书。第一部分是为Serre的妻子Josiane Serre写的，因为她教她的学生量子化学。虽然我不知道，但在某种程度上，这一切都很相关。也许其他人可以通过参考化学书籍更好地解释它。 $\端组$
    – Anweshi公司
    评论 2010年1月14日23:42
  • $\开始组$ 我从来都不懂塞雷的短语“量子化学”，更不用说“量子化学家”了。还有什么其他种类的“迷惑的化学家”？ $\端组$
    – 蒂姆·佩鲁茨
    评论 2010年1月14日23:44
  • 8
    $\开始组$ @Tim——仅仅因为数学家从事表示论，并不意味着他们认为集合论是不真实的，也不意味着它不是他们工作的基础。只是他们看到的大多数集合论都很无聊，而其他有趣的问题占据了主导地位。我想化学的东西是类似的。 $\端组$
    – 韦伯斯特 ♦
    评论 2010年1月15日16:37
  • 4
    $\开始组$ 量子化学是量子力学在化学问题上的应用，即求解原子和分子集合的薛定谔方程。它可以被视为物理化学的一个子集，其目的是使物理告诉我们的宇宙与化学家看到的分子的行为相一致。把它与化学物理和分子物理分开的边界并不总是有意义的。第五章的例子是我们化学家所说的点群。它们对于理解对称分子的光谱非常重要，例如甲烷（Td）、C60（Ih）和苯（D6h）。 $\端组$
    – 陈嘉豪
    评论 2010年8月19日5:13
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$\开始组$

有很多关于对称群表示理论与排序和洗牌的东西。佩西·迪亚科尼斯（Persi Diaconis）对后者的研究取得了很大的效果。

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$\开始组$

设$G$是具有$n$个元素和$k$个共轭类的有限群。用$m=|G:[G，G]|$表示换向器的索引。然后是300多万美元。

这并不像其他许多答案那么令人印象深刻，但我觉得这种不平等特别好，特别是考虑到有一些不平凡的平等例子，所有这些都被明确列出。我不知道不使用表示法的证明。

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  • 1
    $\开始组$ 你能提供参考吗？ $\端组$
    – 汤姆·德梅兹
    评论 2015年3月25日12:35
  • 6
    $\开始组$ 首先，我可以提供证据。$G$有$k$不可约表示，其中$m$的维数为1，其余的至少为2。根据需要，尺寸平方和等于$n\geq m+4（k-m）$。其次，这里给出了等式情形的分类，即至多具有二维不可约表示的群：Amitsur，S.A.具有有界度表示的群。二、。（英文）[J]伊利诺伊州数学。198-205年5月5日（1961年）。[ISSN 0019-282]emis.de/cgi-bin/Zarchive？安=0100.25704 $\端组$
    – 费多·彼得罗夫
    评论 2015年3月25日12:56
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也许这不是一个“应用程序”，但当我学习对称群的表示时，我肯定会觉得很有趣。组合而言，转置不变分区（即沿主对角线对称的分区图）与包含不同奇数的分区之间有明确的对应关系。（例如，（3,2,1）对应于（5,1）。）

这里是结果背后的表示理论的草图：转置不变分区的Specht模正是S_n的不可约表示，当限制为a_n时，它分解为2个不可约表达。我们将不可约特征和共轭类诱导函数视为A_n类函数向量空间上的两个基，并推导出这些可约的限制表示的数目等于分裂为两个A_n共轭类的S_n共轭类的数目。当S_n共轭类不与任何奇数循环交换时，即其循环分解的所有因子都具有不同的奇数长度，它就精确地分裂为两个A_n共轭类。

我见过其他表示理论“解释”组合巧合的例子（例如各种李代数的q维公式），所以我认为这个例子是表示理论和组合学之间“典型的”联系。

编辑：背景来自Anton Evseev的课堂讲稿第18-25页在这里，这个特殊的语句是第3页。我认为这是一个完整的练习解决方案，但我有点麻烦，希望它能在周二之前出现在我的主页上（在“写作”下）（以及我自己的背景说明，可能会在这些官方笔记上稍作扩展）。

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  • 6
    $\开始组$ 我曾经告诉我的一个朋友，他是一名逻辑学家，关于对称群表示中的张量积。她惊呼道：“你的意思是我可以乘分区！这太棒了！” $\端组$
    – 韦伯斯特 ♦
    评论 2010年1月16日15:57
  • $\开始组$ 存在利息；） $\端组$
    – 达里吉·格林伯格
    评论 2010年1月21日23:01
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$\开始组$

这可能有点夸张，但Tim Gowers拟随机群描述并引用了由群$PSL_2（\mathbb）构造的图的一些极值组合性质{F} （_q）)$最终依赖于一个事实，即它们没有非平凡的低维不可约表示。

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$\端组$
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$\开始组$

有限群表示的一个非常基本且有趣的应用（或者，行动有限群）将是对各种谜题的研究，如魔方。大卫·辛马斯特（David Singmaster）有一本很好的小书，名为《库比克数学手册》（Handbook of Cubik Math），可能会被用作本科课程的教材。

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$\端组$
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$\开始组$

在开头有一些有趣的问题这些笔记维拉·塞尔加诺娃。

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$\开始组$

在这里是我写的一篇博文，基于乔治的书该示例是求解具有相同质量和相同弹簧的系统的正常振动模式。一般来说，您可以使用它们形成的图的自同构组来完成更复杂的配置。

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$\端组$
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$\开始组$

看看这本书：群论与物理学

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$\端组$
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$\开始组$

在联席会议上，我听取了迈克尔·奥里森（Michael Orrison）关于代表理论在投票理论中的应用的有趣演讲。它真的很整洁！你应该能找到更多在这里.

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$\端组$
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$\开始组$

（伪）黎曼流形曲率张量的分解标量+无迹Ricci+Weyl（后者在dim=4时变成SD+ASD）是正交群表示理论的一个应用。微分几何中还有很多例子（例如，将几乎厄米流形的内禀扭转张量分解为4个不可约项等）。

现在你可能会反对，因为正交群（例如R上的正交群）不是有限群，但Weyl证明了经典群的张量表示理论与对称群的表示理论密切相关。

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$\端组$
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  • 5
    $\开始组$ 更不用说，任何理性的人都知道有限只意味着紧凑。 $\端组$
    – 韦伯斯特 ♦
    评论 2010年1月16日15:56
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$\开始组$

玻色子和费米子。量子力学文本，如狄拉克的经典著作，解释说，在空间中不可区分的粒子系统中，粒子的交换是通过状态向量的相位变化来建模的。这些相位形成对称群的一维表示。由于所有换位都是共轭的，所以只有两种可能性：玻色子（平凡代表）和费米子（符号代表），而没有其他的（on）。

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$\端组$
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  • 三
    $\开始组$ 我认为这只适用于R^n中的n>2，因为你代表的是R^n中点的配置空间的基本群。对于n=2，你可以得到任意数。 $\端组$
    – S.卡纳汉 ♦
    评论 2010年1月15日8:16
  • $\开始组$ MO的集体眼睛里几乎看不到任何东西！：）是的，我的短语“在太空中”比它看起来更尖锐。。。 $\端组$
    – 蒂姆·佩鲁茨
    评论 2010年1月15日14:41
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我想补充一下麦凯的信件。规则实体的对称群很容易引入。那么你想要双层的。我很惊讶你能如此简单地从二维结构中构造出不可约和字符。

我喜欢的另一个结果是莫里恩定理。多项式环上的作用乍一看似乎很复杂。然而，这是计算不变多项式空间维数的一种简单方法。

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$\端组$
三
$\开始组$

有限晶格上的伊辛规范理论基本上由耦合常数和规范诱导的从$mathbb{Z}^M_2$到$U（mathcal{H} _2^{\otimes L}）$。

这里$\mathcal{H} _2$是单个自旋变量的希尔伯特空间，$L$是晶格中的链接数，$M$是组成最大树的链接数（对于每个维度中周期为$N$的周期性$d$维晶格，因此有$N^d$个位点，$M=N^d–1$和$L=dN^d$s，因此在无限体积极限中，$L\sim d\cdot M$）。

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$\端组$
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  • $\开始组$ 史蒂夫，非常感谢！虽然我有点难以理解：）。。。你能不能把它扩大一点，或者参考一下？例如，你在考虑R^2中的周期晶格吗？ $\端组$
    – 德米特里·帕诺夫
    评论 2010年1月14日22:43
  • $\开始组$ 我有一些四五年前的笔记，详细介绍了七十年代的工作（例如，Fradkin，e.和Susskind，L.，“测量系统和磁体中的秩序和无序”，《物理学评论》D 17，2637（1978））。如果你愿意的话，我会把这些笔记的PDF发电子邮件给你。 $\端组$
    – 史蒂夫·亨茨曼
    评论 2010年1月14日22:48
  • $\开始组$ 史蒂夫，请给我发电子邮件，这会很好！[电子邮件保护] $\端组$
    – 德米特里·帕诺夫
    评论 2010年1月14日22:57
  • $\开始组$ 完成。希望你觉得它们值得。最佳/SH $\端组$
    – 史蒂夫·亨茨曼
    评论 2010年1月14日23:03
三
$\开始组$

壁纸群和平面的晶体学限制定理是有限群论和群作用的一个很好的应用/例子。

这是一个非常好的相关剪辑：http://www.youtube.com/watch？v=7zLi47yYlcc#t=7m43s网站（在相关点排队，#t=7m34s从那里来）。

继续：http://www.youtube.com/watch？v=xP52g6eQRmY&feature=related

此外，布洛诺斯基是一位数学家。

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$\端组$
三
$\开始组$

你可能想看看Shlomo Sternberg的《群论与物理学》第3.1节，剑桥大学出版社，1994年。这通过一个简单的例子解释了（用斯特恩伯格的话来说）“分子光谱学是Schur引理的应用”。这个论点本质上是基本的。詹姆斯·利贝克（James&Liebeck）的书的最后一章（第二组的代表和人物，剑桥大学出版社，2001年）是对同一观点的更长的阐述。我注意到这里还有一篇关于迪亚科尼斯工作的帖子——迪亚科利斯有一本书，叫做《概率统计中的群体表征》，可以免费下载。请参阅以下链接：

http://www.math.columbia.edu/~khovanov/资源/

这个页面有几十篇有用文章的链接。此外，还有乔治·麦基（George W Mackey）（本杰明/卡明斯出版社，1978年）的《物理学、概率和数论中的幺正群表示法》（Unitary Group Representations in Physics，Probability and Number theory）一书。但这比其他方法更先进。关于量子化学的应用，有（在众多应用中）F Albert Cotton的《群论的化学应用》，由John Wiley出版。如果你想了解塞雷书中2.7节是如何被化学家实际应用的，请参阅科顿书中的第6章。

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$\端组$
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  • $\开始组$ 为这个打扰人的问题道歉。只是为了满足好奇——你是《模群子群研究中的算术几何方法》的作者吗？ $\端组$
    – Anweshi公司
    评论 2010年1月24日11:50
  • $\开始组$ 不，我不是。这是一个相当常见的名称…：-） $\端组$
    – 拉维·库尔卡尼
    评论 2010年1月24日14:56
  • $\开始组$ @Anweshi Ravi Kulkarni在哈佛大学获得Shlomo Sternberg博士学位后，在纽约市皇后学院和纽约市立大学研究生中心任教近40年。他是微分几何、古典几何以及复杂分析方面的专家。我有幸多次成为他的学生。可悲的是，我作为他的学生的角色与他最后一次作为老师的角色不匹配。我很高兴向未来的数学专业学生报告，他在印度老家呆了几年后又回来了。我希望他能一直呆在那里直到正式退休。 $\端组$
    – 数学大师
    评论 2010年10月5日22:08
  • $\开始组$ @Ravi First，欢迎回来，我还没有机会和你长时间接触。第二，关于你的出色回答和建议，我只想补充以下内容：Yngve Ohm的《分子对称的元素》。这是一篇针对化学家的群表示理论的研究生级演讲，不仅比Cotton更易读，而且更具数学意义——在这一过程中，它发展了大量的形式群理论。在我看来，斯特恩伯格和塞雷应该在每个数学、物理学家和化学家的图书馆里。 $\端组$
    – 数学大师
    评论 2010年10月5日22时14分

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