用高斯曲率确定$\mathbb{R}^3$中的曲面

Question

确定平面内的曲线，直至定向保护欧几里得的运动，通过其曲率函数，$\kappa（s）$.下面是我最喜欢的一个例子，来自阿尔弗雷德·格雷的书，现代曲线曲面微分几何与Mathematica,第116页：

第一季度.有没有类似的定理说明曲面$\mathbb{R}^3$（在某种意义上）由高斯曲率决定？

我知道这样的重建路径（曲率$\右箭头$表面）需要计算机视觉，所以有近似算法，但我不知道这项工作背后的精确定理是什么。

第2季度.是否存在高维泛化，以确定黎曼流形的曲率张量？

我毫不怀疑，这对行家来说都是众所周知的，在这种情况下，引用就足够了。谢谢！

附录(2011年10月4日). 请允许我用相关的参考资料来补充这个问题它放松了“决定”的概念，回答了我的问题第一季度替换了这个概念通过“找到一些”Gluck、Krigelman和Singer的论文，题为“PL中Gauss-Bonnet定理的逆命题”J.差异几何, 9(4): 601-616, 1974，提出了这个问题：

假设闭光滑两流形百万美元$和一个平滑的实值函数$K\冒号M\右箭头\mathbb{R}$给出了，并要求该函数为百万美元$有千美元$作为其高斯曲率。[…]有这些限制千美元$[just elided]，对于所有闭光滑两流形，问题都已完全解决：Melvyn Berger[…]，Gluck[…]，Moser[…]、Kazdan和Warner[…]。最近，卡兹丹和华纳获得了一个统一的解决方案。然而，具有边界的紧致两流形的问题似乎没有在光滑范畴中得到解决。

这个MathSciNet对本文的评论是格罗莫夫写的。

Answer 1

我不知道你所说的“决定”是什么意思。等价的一个自然概念是，两个曲面通过环境等距（欧几里得运动）相关联。

基本结果是两个曲面$\mathbb{R}^3$通过等距关系$\mathbb{R}^3$当且仅当它们的第一和第二基本形式一致时。

一个较弱的条件是等距。两个表面被称为等轴测的如果它们的第一个基本形式一致。高斯的埃格瑞金定理表示等轴测曲面具有相同的高斯曲率，但反之则不然：有一些曲面具有相同高斯曲率，但是它们不是等轴测的。

In维度$\geq 4美元$库尔卡尼在他的论文中曲率和公制证明了保持截面曲率的微分同胚是等距的，但在截面曲率不变的情况下可能除外。In维度$\leq 3美元$他的论文中提到了反例。

Answer 2

最小曲面的相关族给出了一个具体的反例。Weierstrass表示允许您从亚纯对中构造共形参数化最小曲面$f\sqrt{dz}$,$g\sqrt｛dz｝$.

然后通过以下公式进行参数化$$F（x，y）=Re\int_0^{x+iy}（F^2-g^2，i（F^2+g^2），2fg）~dz$$

的法线贴图$F（美元）$可以通过思考美元g/f$作为黎曼球面的映射，以及由$F（美元）$只是$4（|f|^2+|g|^2）^2|dz|^2$根据这些数据，你可以计算出高斯曲率和平均曲率，如果$f\sqrt{dz}$和$g\sqrt{dz}$如果是亚纯的，你会得到一个最小曲面。

但考虑一下，如果两者相乘会发生什么$f美元$和$克$通过$e^{i\theta}$---法线图和度量都没有改变，并且$e^{i\theta}f\sqrt{dz}，e^{i \theta{g\sqrt}$仍然是亚纯的，所以你得到了一个新的最小曲面，它与旧曲面等距。这意味着您已经创建了一个新曲面，其主曲率与旧曲面一致！

我认为这里的寓意是，即使知道度量和主曲率的完整集合，也不足以重建曲面——曲率方向也是至关重要的数据。

为了观看所有这些活动，这里有一段带有奇怪音乐的视频，显示了螺旋面转化为悬链线，从悬链线的Weierstrass数据开始，然后乘以$e^{i\theta}$，使用$\θ$随着电影的发展而增加。每个曲面都与悬链线等距！但他们做有不同的第二基本形式。

Answer 3

代替Q2，我将回答以下问题：

是否存在确定$\mathbb R^q$中的子流形的高维推广。

是的，有一些类比，但我相信你不需要它们。

它们适用于$\mathbb R^{n{\cdot}（n+3）/2}$中的$n$维子流形。（曲线以$\mathbb R^2$表示，曲面以$\mathbb R*5$表示，依此类推）。你记得度量张量$g$；它是切线空间上的2次齐次多项式。记住以下4次齐次多项式$h（X）=|s（X，X）|^2$而不是曲率，其中$s\colon T\乘以T\到N$是第二个基本形式（对于两个切线向量$X$和$Y$，值$s（X，Y）$是法向量）。

证明与Frenet–Serret公式相同。你可以在斯皮瓦克的书中找到它。

Answer 4

如果你把问题限制在凸面上，那么Q1有一个令人满意的答案：一种陈述问题的方法就是Minkowski问题。也就是说，您在球体上选择一个正函数$k$，并在单位法向量为$n$的点处，在$R^3$中查找高斯曲率为$k（n）$的曲面$S$。这个问题在50年代初得到了解决，参见MR0058265（15347b）的数学评论路易斯·尼伦伯格微分几何中的Weyl和Minkowski问题。普通纯应用程序。数学。6, (1953). 337–394. 在高维中，对于凸超曲面（或有时使用较弱的凸性形式），您仍然可以玩同样的游戏，并找到一个具有指定“曲率”的超曲面，其中曲率可以是形状算子特征值的对称函数。例如，形状操作符的行列式，它对应于更高维的Minkowski问题，该问题也在50年代初得到了解决，但这并不是你在Q2中所要求的。

Answer 5

在他的第4.5节中黎曼几何大书，Berger讨论了曲率在多大程度上（以及在什么意义上）决定度量的问题。他在二维情况下引用了Cartan的以下定理。

给定两个具有黎曼度量的曲面，使函数千美元$和$\|dK\|^2$到处都有独立的微分，这些曲面之间的映射当它保留四个功能时，就是一个等距

\开始{eqnarray}I_1&=&K\\I_2&=&\ |dK\ |^2\\I_3&=&langle dK，dI_2 rangle\\I_4&=&\|dI_2\|^2\结束{eqnarray}[其中千美元$是高斯曲率。]

Answer 6

不要看高斯曲率，你应该问平均曲率这个问题，它是曲面曲率函数$\kappa$的模拟：

众所周知，CMC（恒定平均曲率）曲面是在一维族中出现的，Matt的答案中描述了$H=0$的特殊情况。当然，这些相关曲面通常不是闭合的，但第一种和第二种基本形式在全球范围内都有明确的定义。根据Tribuzy和Lawson（关于紧曲面上的平均曲率函数，微分几何杂志）的一个定理，这对于紧定向曲面上的非恒定平均曲率$H$是不可能发生的。事实上，他们已经证明了至多有两种不同于紧致黎曼方程的等距浸入曲面（具有度量和方向的曲面）转换为具有相同非恒定平均曲率的$\mathbb R^3$。

这一结果表明，对于紧凑曲面，您几乎与曲线处于相同的情况：如果您知道内在几何体（当然，这对于曲线来说没有不变量），那么（外在）平均曲率（只要不恒定）几乎可以唯一地确定曲面。

Answer 7

对于$\bf{Q1}$，连续群作用下子流形的（局部）同余可以通过移动（co）框架的方法来确定（受到Elie Cartan的启发，并由Olver和Fels严格地公式化）：参见https://www-users.cse.umn.edu/~olver/mf_/mcII.pdf.

如需将其应用于图像识别和计算机视觉（自您提到以来），请参阅此处的图像处理部分：https://www-users.cse.umn.edu/~olver/paper.html

Answer 8

第一季度

以上是一个内在或自然方程。与平面类似，我们有许多曲面可能性：

高斯曲率是参数u和v的函数。

测地曲率是u和v的函数。

高斯曲率作为测地线曲率等的函数。，

然而，将u、v作为独立参数处理是直接、有利和简单的。

从曲面理论的第一基本形式系数（E、F和G）出发，我们不仅可以用一个共同的高斯曲率来描述所有从属曲面，而且可以从它们的Christoffel符号中得到几个标量不变量：切线旋转、积分曲率、测地曲率、测地线扭转等。它们都可以在积分解中等距弯曲成任意形状，同时共享经典高斯理论、Minding和Bour定义的相同度量中包含的上述标量不变量。

当第一和第二基本形式系数（E、F、G、L、M和N）相同时，刚性曲面是唯一确定的，直到欧几里德运动（任何平移或旋转）。。。Gauss-Codazzi-Mainardi关系。

Answer 9

Bonnet[53]的一个重要经典结果表明{E，F，G\E，F，G]确定曲面在空间中的位置。Mathematica有一个解决这个问题的程序，其中{E，F，G\E，F，G]。是曲面上的第一和第二基本形式。我是塔哈·尤西夫，来自埃及，我的艾米尔是[电子邮件保护]

Answer 10

此链接https://encyclopediaofmath.org/wiki/Bonnet_theorem给出了主要定理，我确信Mathematica有一个程序可以解决这个问题。